Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере
В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений, а Перельман спустя 100 лет математически это доказал.
Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин “односвязное компактное трёхмерное многообразие без края” содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин “гомеоморфно” означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость.
Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она — в том же самом “известном смысле” — и есть трёхмерная сфера.»
Если совсем просто — то:
1. Имеем воздушный шарик БЕЗ дырки, через которую происходит его надувание — аналог трехмерной сферы.
2. Имеем полое замкнутое тело, например, тарелку, стакан, куб, карандаш, дверь без ручек.
Необходимо доказать, что поверхность этого тела топологически является аналогом сферы, т.е. после проведения определённых деформаций, не вызывающих разрывов данной поверхности, поверхность принимает форму сферы и на этой поверхности действуют те же математические законы, что и на сфере, описываемые теми же функциями в топологии.
Доказательство «для чайников»: помещаем тело внутрь нашего воздушного шарика, откачиваем воздух — шарик принимает форму поверхности данного тела, при этом оставаясь шариком, т.е. сферой, для которой по прежнему применимы те же законы, что и для сферы до её деформации.
Если же посложнее — то если возможно установить однозначное соответствие между точками сферы и точками некой трехмерной поверхности с сохранением условия непрерывности, т.е. соседства точек на поверхности и на сфере — для этой поверхности применимы законы, применимые для сферы.
Примерно так:)
Дмитрий Кулешов Авиаконструктор, ЧГКшник, джипер., Ulan-Ude
Исключительная важность гипотезы, выдвинутой около века назад математиком Пуанкаре, касается трёхмерных структур и является ключевым элементом современных исследований основ мироздания. Загадка эта, по мнению специалистов института Клэя, одна из семи принципиально важных для развития математики будущего.
Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы:
— Топология — (от греч. topos — место и logos — учение) — раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо — двумя.
— Гомеоморфизм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическим пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называют гомеоморфными, или топологическими отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными.
— Трёхмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трёхмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3 , а также любые открытые множества точек в R3 , к примеру, внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полноторие, т.е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем – у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.
— Полното́рие (полното́рий) — геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D2 * S1. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).
— Односвязное. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.
— Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.
Ильназ Башаров https://allatra-science.org/publication/teorema-puankare-gregory-perelman
Будущий ученый родился в Ленинграде, в интеллигентной семье. Перельман с отличием окончил школу, но не получил золотую медаль, не сдав нормы ГТО. Был без экзаменов зачислен на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета. Позже поступил в аспирантуру при Математическом институте им. В.А. Стеклова, где получил степень кандидата наук и остался работать.
Трудное время 1990-ых заставило молодого ученого уехать работать в США. Там его внимание привлекла одна из сложнейших, в то время еще не решенных, проблем современной математики – теорема Пуанкаре. Позже Перельман говорил, что подсказку для доказательства этой теоремы ему дал американский математик Ричард Гамильтон. На своей лекции Гамильтон рассказывал о потоках Риччи – новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре. Объяснить простыми словами смысл гипотезы очень сложно, но стоит попробовать. Представим сферу, все точки которой равноудалены от центра. Перед нами двумерное тело, но в гипотезе говорится о трехмерном. При этом все точки трехмерного тела также будут удалены от центра. Проблема в том, что в отличие от двумерных сфер трехмерные нельзя увидеть, и поэтому нам трудно себе их представить, но именно для этого существует теоретическая математика.
Теорема Пуанкаре посвящена именно таким метаморфозам трехмерных тел в многомерном пространстве. Представим шар и тор (форма пончика). Одну фигуру нельзя получить из другой, избежав разрыва: тела такой формы бы просто рассыпались; а вот конус, куб или цилиндр из первого получатся легко. Трехмерные шар и тор – это компактные и односвязные сферы – то есть их можно свернуть и развернуть в одну точку. Анри Пуанкаре считал, что Вселенная является как раз такой трехмерной сферой, иными словами, шаром или «пончиком», который можно свернуть в одну точку и развернуть обратно. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.
Долгое время после своего возвращения на родину, Григорий Яковлевич практически не покидал своего дома. На поиск решения труднейшей задачи ушли недели, но итог стоял всех тех усилий и самоотречений. В 2002-2003 годах Перельман опубликовал в Интернете три своих знаменитых статьи, в которых кратко изложил метод доказательства гипотезы. Так, используя потоки Риччи, ученый смог нейтрализовать образование сингулярных (стремящихся к бесконечности) зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу. Многие ученые, а особенно сотрудники Массачусетского технологического института (MIT), с недоверием отнеслись к открытию Перельмана, объясняя это тем, что Перельман использовал неподходящий метод для решения этой задачи. Тогда никто и подумать не мог, что потоки Риччи – это определенное уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности, можно использовать для решения гипотезы Тёрнера.
В одной из своих статей Перельман говорил, что утверждение Пуанкаре помогает в изучении сложных физических процессов в теории мироздания, а также дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Доказательство теоремы Пуанкаре имеет огромное значение для развития нанотехнологий, поскольку оно позволяет сжимать предмет в одну точку и разжимать его обратно. Теоретически такой эксперимент можно проводить и над всей Вселенной. Однако, пока ни один ученый не может точно сказать, что будет с человечеством в этом случае.
В 2006 Григорий Яковлевич стал лауреатом Филдсовской премии (аналог Нобелевской премии для математиков), но на вручении не присутствовал. В том же году один из самых авторитетных научных журналов «Science» назвал доказательство теоремы Пуанкаре научным прорывом года. Это первая работа по математике, заслужившая такое название. 18 марта 2010 математический институт Клэя присудил Премию тысячелетия за доказательство гипотезы Перельману, но он отказался ее принять. В интервью газете “Взгляд” ученый заявил “Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите, зачем мне бежать за миллионом?!”
Текст: Колодзинская Владислава, Иваненко Мария.
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре. В 1904 году учёный опубликовал работу, содержавшую среди прочего предположение, получившее название теорема Пуанкаре. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.
Основатель топологии
Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики. Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.
Геометрия — отрасль математики, где Пуанкаре стал признанным новатором и лидером мирового масштаба. Теория Лобачевского, открыв новые измерения и пространства, еще нуждалась в ясной и логичной модели, и Пуанкаре придал идеям великого русского ученого прикладной характер. Развитием неэвклидовой геометрии стало возникновение топологии – отрасли математики, которую называли геометрией размещения. Она изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учета их метрических свойств. Теорема Пуанкаре, ставшая символом самых трудноразрешимых задач в науке, возникла именно в недрах топологии.
Одна из семи задач тысячелетия
В самом начале XXI века одно из подразделений американского университета в Кембридже — математический институт, основанный на средства бизнесмена Лэндона Т. Клэя — опубликовал список Millennium Prize Problems (проблем тысячелетия). Он содержал семь пунктов из классических научных задач, за решение каждой из которых учреждалась премия в миллион долларов:
• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).
• Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).
• Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).
• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).
• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).
Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.
Классическая формулировка.
Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее. Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.
Гомеоморфизм.
Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур – шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать. Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.
Связность
Дырка – важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.
Многообразие
Если объект или пространство разделить на множество составных частей – окрестностей, окружающих какую-то точку, — то их общность называют многообразием. Именно такое понятие содержит теорема Пуанкаре. Компактность означает конечное число элементов. Каждая отдельная окрестность подчиняется законам традиционной – эвклидовой – геометрии, но вместе они образуют нечто более сложное. Самая адекватная аналогия этих категорий – поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.
Трехмерная сфера
По определению, сфера – совокупность точек, которые равноудалены от центра – некой фиксированной точки. Одномерная сфера расположена в двухмерном пространстве в виде окружности на плоскости. Двухмерная сфера – поверхность шара, его «корочка» — совокупность точек в трехмерном пространстве и, соответственно, трехмерная сфера – суть теоремы Пуанкаре – поверхность четырехмерного шара. Вообразить такой объект очень трудно, но, говорят, мы — внутри такого геометрического тела. Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире. Для них обычное дело – трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, – вверх, влево и вперед – и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку. Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.
Долгий путь к истине
Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды – Филдсовской премии – за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.
В 2006 году эта награда — медаль Филдса — была присвоена русскому математику из Санкт-Петербурга. Григорий Яковлевич Перельман доказал теорему Пуанкаре для трехмерного многообразия и трёхмерной сферы. Получать награду он отказался.
Обыкновенный гений
Григорий Яковлевич родился 13 июня в Ленинграде, в интеллигентной семье. Отец — инженер-электрик — в начале 90-х уехал на ПМЖ в Израиль, мать преподавала математику в ПТУ. Кроме любви к хорошей музыке, она привила сыну увлечение решением задач и головоломок. В 9-м классе Григорий перевелся в физико-математическую школу № 239, но еще с 5-го класса он посещал математический центр при Дворце пионеров. Победы во всесоюзных и международных олимпиадах позволили поступить Перельману в Ленинградский университет без экзаменов. Многие специалисты, особенно российские, отмечают что Григорий Яковлевич был подготовлен к невиданному взлету высоким классом ленинградской школы геометров, какую он прошел на мехмате Ленинградского госуниверситета и в аспирантуре при Математическом институте им. В.А. Стеклова. Став кандидатом наук, он стал работать в нем.
Трудное время 90-х заставило молодого ученого уехать на работу в США. Те, кто знал его тогда, отмечали его аскетизм в быту, увлечённость работой, прекрасную подготовку и высокую эрудицию, которые и стали залогом того, что Перельман доказал теорему Пуанкаре. Вплотную он занялся этой проблемой после возвращения в Санкт-Петербург в 1996 году, но начал думать над ней еще в США.
Верное направление
Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации.
Впоследствии Перельман пытался связаться с Гамильтоном и обсудить ход работы над задачей, но не получил ответа. Долгое время после возвращения на родину Григорий Яковлевич провел наедине с труднейшей задачей, которой была теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана – итог огромных усилий и самоотречения. Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.
Потоки Риччи
Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.
Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Его направление внутрь при положительной кривизне и вовне — при отрицательной. Каждую точку заставляем двигаться в направлении и со скоростью, определяемыми соответствующим вектором. Замкнутая кривая, проведенная в любом месте плоскости, при такой эволюции превращается в окружность. Это справедливо для размерности 3, что и требовалось доказать.
Нет пророка…
Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно. Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.
Эпоха соцсетей
Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.
источник
Оригинал
Родился в 1966 году в ленинграде
математик
Советский Союз имел выдающуюся математическую традицию, поэтому о детстве Перельмана нельзя рассказывать, не упомянув о феномене советских математических школ. В них талантливых детей готовили под руководством лучших наставников; такая среда служила плодородной почвой для будущих выдающихся достижений. Впрочем, несмотря на грамотную организацию процесса обучения, существовала и свойственная советской системе дискриминация, когда даже наличие необычной фамилии могло стоить места в сборной команде города или поступления в вуз.
Анри Пуанкаре
Перельман рос в интеллигентной семье и к математике интерес проявлял с детства. Однако попав в математический кружок, он не сразу стал лидером. Первые неудачи подстегнули его работать усерднее и повлияли на его характер — неуступчивый и упрямый. Эти качества и помогли учёному решить главную задачу своей жизни.
Вслед за золотой медалью на Международной математической олимпиаде в Будапеште в 1982 году и блестящим окончанием школы (для золотой медали не хватило сданных норм ГТО) последовал матмех СПбГУ, а позже и аспирантура, где Перельман также учился исключительно на «отлично». Когда Советский Союз прекратил своё существование, учёный столкнулся с действительностью: наука переживала тяжелейший кризис. Неожиданно состоялась стажировка в США, где молодой учёный впервые встретил Ричарда Гамильтона. Американский математик достиг серьёзного прогресса в решении знаменитой проблемы Пуанкаре. Более того, он даже наметил план, следуя которому к этому решению можно было прийти. Перельману удалось пообщаться с ним, и Гамильтон на него произвёл неизгладимое впечатление: открыт и не жалел сил на объяснения.
Здание института им. Стеклова в Санкт-Петербурге
Несмотря на предложения остаться, по окончании стажировки Перельман вернулся в Россию, в родную квартиру в питерской девятиэтажке в Купчино (печально известное «гетто» на юге города), и начал работать в Математическом институте им. Стеклова. В свободное время он размышлял над Гипотезой Пуанкаре и идеями, о которых ему рассказал Гамильтон. В это время у американца, судя по публикациям, не получалось продвинуться в своих рассуждениях дальше. Советское же образование дало Перельману возможность посмотреть на проблему с другой стороны, используя собственный подход. На письма Гамильтон больше не отвечал, и это стало «зелёным светом» для Перельмана: он начал работать над решением Гипотезы.
Трёхмерная сфера — объект, о котором идёт речь в формулировке Гипотезы Пуанкаре
На решение этой задачи у Перельмана ушло семь лет. Условностей он не признавал и отправлять свои работы в научные журналы для рецензии (обычная практика среди учёных) не стал. В ноябре 2002 года Перельман опубликовал на arXiv.org первую часть своих выкладок, за которой последовали ещё две. В них в предельно сжатой форме была решена задача ещё более общая, чем Гипотеза Пуанкаре — это Гипотеза геометризации Тёрстона, из которой первая была простым следствием. Впрочем, научное сообщество приняло эти работы настороженно. Смущала краткость решения и сложность тех выкладок, которые представил Перельман.
После публикации решения Перельман снова отправился в США. В течение нескольких месяцев он проводил семинары в разных университетах, рассказывая о своей работе и терпеливо отвечая на все вопросы. Однако главной целью его поездки была встреча с Гамильтоном. Пообщаться во второй раз с американским учёным не получилось, зато Перельман снова получил приглашение остаться. Из Гарварда ему пришло письмо с просьбой выслать им своё резюме, на что он раздражённо ответил: «Если они знают мои работы, им не нужно моё CV. Если они нуждаются в моём CV, они не знают мои работы».
Медаль Филдса
Следующие несколько лет были омрачены попыткой китайских математиков присвоить открытие (их интересы курировал профессор Яу, гениальный математик, один из создателей математического аппарата Теории Струн), невыносимо долгим ожиданием проверки работы, которой занимались три группы учёных, и шумихой в прессе.
Всё это шло вразрез с принципами Перельмана. Математика привлекала его категорической честностью и однозначностью, что заложено в основу данной науки. Однако интриги коллег, озабоченных признанием и деньгами, пошатнули веру учёного в математическое сообщество, и он решил больше не заниматься математикой.
И хотя вклад Перельмана в итоге был оценён по достоинству, а претензии Яу были проигнорированы, математик не вернулся в науку. Ни медаль Филдса (аналог Нобелевской премии для математиков), ни «Премию тысячелетия» (миллион долларов) он не принял. К шумихе в прессе Перельман отнёсся крайне скептически и свёл к минимуму контакты с бывшими коллегами. И по сей день он живёт в той же самой квартире в Купчино.
Родился в Ленинграде.
В составе команды школьников участвовал в международной математической олимпиаде в Будапеште.
Перельмана пригласили провести по семестру в Нью-Йоркском университете и в Университете Стони Брук.
Вернулся в институт им. Стеклова.
ноябрь
2002 —
июль 2003
Перельман разместил на сайте arXiv.org три научные статьи, в предельно сжатом виде содержавшие решение одного из частных случаев Гипотезы геометризации Уильяма Тёрстона, приводящее к доказательству Гипотезы Пуанкаре.
Перельман прочитал в США серию лекций, посвящённых своим работам.
Верификацией результатов Перельмана занимались три независимые группы математиков. Все три группы пришли к выводу, что Проблема Пуанкаре успешно решена, однако китайские математики Чжу Сипин и Цао Хуайдун вместе со своим учителем Яу Шинтаном предприняли попытку плагиата, заявив, что они нашли «полное доказательство».
Сильвия Назар и Дэвид Грубер опубликовали статью Manifold Destiny, которая рассказывает о Григории Перельмане, о его работе по решению Проблемы Пуанкаре, а также содержит редкое интервью с ним самим. В статье уделено немалое место критике китайского математика Яу Шинтана.
Ушёл с поста ведущего научного сотрудника лаборатории математической физики, уволился из Математического института и практически полностью прервал контакты с коллегами.
Доказательство Теоремы Пуанкаре Перельманом было названо журналом Science главным научным прорывом года.
Математический институт Клэя присудил Григорию Перельману премию в размере одного миллиона долларов США за доказательство Гипотезы Пуанкаре.
Институт Клэя совместно с институтом Анри Пуанкаре (Париж) учредили должность для молодых математиков, на оплату которой пойдут деньги из присуждённой, но не принятой Григорием Перельманом «Премии тысячелетия».
Чему Григорий Перельман научил нас?
В научном сообществе бытует мнение, что математики умнее всех. Умнее всех они потому, что имеют дело с предельно общими и абстрактными вещами. Категории этой науки не подразумевают разных трактовок и толкований, и поэтому те, кто математикой живёт, переносят эти принципы и на взаимоотношения людей. Григорий Перельман именно такой человек. А реакция общества на его решения, в которой преобладало недоумение относительно его отказа от премии, только подчёркивает ту пропасть, что разделяет его и нас. Получается, что хоть Григорий Перельман и не думал учить нас, — этот урок он всё-таки нам преподал.
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре.
В 1904 году учёный опубликовал работу, содержавшую среди прочего предположение, получившее название теорема Пуанкаре. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.
Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики.
Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.
Геометрия — отрасль математики, где Пуанкаре стал признанным новатором и лидером мирового масштаба. Теория Лобачевского, открыв новые измерения и пространства, еще нуждалась в ясной и логичной модели, и Пуанкаре придал идеям великого русского ученого прикладной характер.
Развитием неэвклидовой геометрии стало возникновение топологии – отрасли математики, которую называли геометрией размещения. Она изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учета их метрических свойств. Теорема Пуанкаре, ставшая символом самых трудноразрешимых задач в науке, возникла именно в недрах топологии.
В самом начале XXI века одно из подразделений американского университета в Кембридже — математический институт, основанный на средства бизнесмена Лэндона Т. Клэя — опубликовал список Millennium Prize Problems (проблем тысячелетия). Он содержал семь пунктов из классических научных задач, за решение каждой из которых учреждалась премия в миллион долларов:
• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).
• Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).
• Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).
• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).
• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).
Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.
Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее.
Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.
Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур – шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать.
Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.
Дырка – важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.
Если объект или пространство разделить на множество составных частей – окрестностей, окружающих какую-то точку, — то их общность называют многообразием. Именно такое понятие содержит теорема Пуанкаре. Компактность означает конечное число элементов. Каждая отдельная окрестность подчиняется законам традиционной – эвклидовой – геометрии, но вместе они образуют нечто более сложное.
Самая адекватная аналогия этих категорий – поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.
По определению, сфера – совокупность точек, которые равноудалены от центра – некой фиксированной точки. Одномерная сфера расположена в двухмерном пространстве в виде окружности на плоскости. Двухмерная сфера – поверхность шара, его «корочка» — совокупность точек в трехмерном пространстве и, соответственно, трехмерная сфера – суть теоремы Пуанкаре – поверхность четырехмерного шара. Вообразить такой объект очень трудно, но, говорят, мы — внутри такого геометрического тела.
Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире.
Для них обычное дело – трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, – вверх, влево и вперед – и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку.
Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.
Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды – Филдсовской премии – за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.
Григорий Яковлевич родился 13 июня в Ленинграде, в интеллигентной семье. Отец — инженер-электрик — в начале 90-х уехал на ПМЖ в Израиль, мать преподавала математику в ПТУ. Кроме любви к хорошей музыке, она привила сыну увлечение решением задач и головоломок. В 9-м классе Григорий перевелся в физико-математическую школу № 239, но еще с 5-го класса он посещал математический центр при Дворце пионеров. Победы во всесоюзных и международных олимпиадах позволили поступить Перельману в Ленинградский университет без экзаменов.
Многие специалисты, особенно российские, отмечают что Григорий Яковлевич был подготовлен к невиданному взлету высоким классом ленинградской школы геометров, какую он прошел на мехмате Ленинградского госуниверситета и в аспирантуре при Математическом институте им. В.А. Стеклова. Став кандидатом наук, он стал работать в нем.
Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации.
Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.
Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.
Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Его направление внутрь при положительной кривизне и вовне — при отрицательной. Каждую точку заставляем двигаться в направлении и со скоростью, определяемыми соответствующим вектором. Замкнутая кривая, проведенная в любом месте плоскости, при такой эволюции превращается в окружность. Это справедливо для размерности 3, что и требовалось доказать.
Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно.
Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.
Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.
Гипотеза Пуанкаре — это доказанная математическая гипотеза, которая утверждает, что всякое замкнутое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Попробуем разобрать, что такое гипотеза Пуанкаре простыми словами.
Стоит отметить, сфера (т.е. поверхность шара) является двумерной, а шар — трехмерным.
Двумерная сфера включает в себя все точки трехмерного пространства, равноудаленные от некоторой точки, которую называют центром, однако она не принадлежит сфере. Трехмерная же сфера содержит в себе все точки четырехмерного пространства, также равноудаленные от центра, который сфере не принадлежит.
К примеру, воздушный шар легко и без разрывов деформируется в разные фигуры, однако, чтобы сделать из него бублик, нужно будет разрезать шар.
И наоборот, из бублика ну никак не получить цельную сферу. Однако, любая поверхность без разрывов гомеоморфна и может, деформируясь, переходить в шар (сферу). Мы можем опоясать шарик нитью, тогда нить завяжется в 1 узел (с бубликом такое невозможно). Таким образом, сфера (шар) – простейшая трехмерная модель, ее можно свернуть в точку, а также развернуть из точки обратно.
Интересно знать, что с двумерной сферой все было решено еще в XIX веке, а многомерные случаи были доказаны в 1980-х годах. Только трехмерность не была доказана. В 2002-2003 годах Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям уравнение «плавной эволюции» и таким образом сумел показать, что трехмерная поверхность (без разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу. По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.
Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет (легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку). Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.
Доказать гипотезу Пуанкаре удалось только в 2003 году. Доказательство принадлежит нашему соотечественнику Григорию Перельману. Эта лекция проливает свет на объекты, необходимые для формулировки гипотезы, историю поиска доказательства и его основные идеи.
Читают лекцию доценты механико-математического факультета МГУ к. ф-м. н. Александр Жеглов и к. ф.-м. н. Федор Попеленский.
Если не вдаваться в математические подробности, то вопрос, поднимаемый гипотезой Пуанкаре можно следующим образом: как охарактеризовать (трехмерную) сферу? Чтобы правильно понять этот вопрос, нужно познакомиться с одним из важнейших понятий в топологии – гомеоморфизмом. Разобравшись с ним, мы сможем точно сформулировать гипотезу Пуанкаре.
Чтобы совсем уж не залезать в математические подробности формального определения, мы скажем, что две фигуры считаются гомеоморфными, если можно установить такое взаимно-однозначно соответствие между точками этих фигур, при котором близким точкам одной фигуры соответствуют близкие точки другой фигуры и наоборот. Пропущенные нами подробности состоят как раз в адекватной формализации близости точек.
Легко понять, что две фигуры гомеоморфны, если одну из другой можно получить произвольной деформацией, при которой запрещено «портить» поверхности (рвать, сминать области в точку, делать дырки и т.п.).
Например, чтобы получить из диска полусферу, как показано на картинке выше, нам потребуется просто нажать сверху в его центр, придерживая внешний обод. Можно представлять себе, что поверхности сделаны из идеальной резины, так что все фигуры могут сжиматься и растягиваться как угодно. Нельзя делать только две вещи: разрывать и склеивать.
Более точное (но все же не окончательное с точки зрения строгости) представление о гомеоморфных фигурах мы будем иметь, если разрешим еще одну операцию: можно сделать на фигуре разрез, перекрутить, завязать, развязать и т.п., но потом обязательно заклеить разрез как было.
Приведем еще один пример. Представим себе яблоко, в котором червяк прогрыз ход в виде узла и небольшую пещеру.
С точки зрения топологии поверхность этого яблока все равно останется сферой, т.к. если стянуть все это определенным образом, мы получим поверхность яблока в том же виде, как было до того, как червяк начал его есть.
Для закрепления попробуйте классифицировать буквы латинского алфавита с точностью до гомеоморфизма (т.е. выясните, какие буквы гомеоморфны, а какие — нет). Ответ зависит начертания букв (от типа шрифта или от гарнитуры), и для простейшего варианта начертания он приведен на следующем рисунке:
Из 26 букв у нас получается всего 8 классов.
На следующей картинке изображены гиря, кофейная чашка, бублик, сушка и кренделек. С топологической точки зрения поверхности гири, кофейной чашки, бублика и сушки одинаковы, т.е. гомеоморфны. Что касается кренделька, то он приведен здесь для сравнения с поверхностью, которую в топологии часто называют кренделем (он изображен в правом нижнем углу рисунка). Как вы, наверное, уже понимаете, и топологический крендель, и съедобный крендель отличаются от тора.
Пусть M – замкнутое связное многообразие размерности 3. Пусть на нем любая петля может быть стянута в точку. Тогда M гомеоморфно трехмерной сфере.
Наибольшую трудность для неподготовленного человека здесь вызывает понятие «многообразия размерности 3» и свойства, выраженные словами «замкнутое» и «связное». Поэтому мы попробуем разобраться со всеми этими понятиями и свойствами на примере размерности 2, в этом случаем многое кардинально упрощается.
Пусть M – замкнутая связная поверхность (многообразие размерности 2). Пусть на ней любая петля может быть стянута в точку. Тогда поверхность M гомеоморфна двумерной сфере.
Сначала определим, что такое поверхность. Возьмем конечный набор многоугольников, разбиваем все их стороны (ребра) на пары (т.е. всего сторон у всех многоугольников должно быть четное число), в каждой паре выбираем, каким из двух возможных способов будем их склеивать. Склеиваем. В результате поучается замкнутая поверхность.
Если полученная поверхность состоит из одного куска, а не из нескольких отдельных, то говорят, что поверхность связна. С формальной точки зрения это значит, что после склейки из любой вершины любого многоугольника можно по ребрам пройти в любую другую вершину.
Вот простой пример: если считать, что на картинке выше все треугольники правильные, то после склеивания у нас должен получиться правильный тетраэдр, поверхность которого также гомеоморфна сфере.
Формально нужно требовать, чтобы из любой вершины любого многоугольника после склейки можно было пройти в любую вершину любого многоугольника (по ребрам).
Нетрудно сообразить, что связную поверхность можно склеить и из одного многоугольника. На рисунке видна идея, как это обосновывается:
Рассмотрим примеры простейших склеек:
В первом случае у нас получится сфера:
Во втором случае у нас получится тор (поверхность бублика, мы встречались с ним раньше):
В третьем случае получится так называемая бутылка Клейна:
Если склеивать не все стороны многоугольника, то получится поверхность с краем:
Важно отметить, что после склейки «шрамы» от нее носят чисто «косметический характер. Все точки поверхности равноправны: у любой точки имеется окрестность гомеоморфная диску.
Две поверхности считаются гомеоморфными, если схемы склейки каждой из них можно так разрезать на схемы склейки из более мелких многоугольников, что схемы склейки станут одинаковыми.
Разберем это утверждение на примере разбиения поверхности куба на части, из которых можно сложить развертку тетраэдра:
Верен и более общий факт: поверхности всех выпуклых многогранников – это сферы.
Теперь подробнее остановимся на понятии петли. Петял — это замкнутая кривая на рассматриваемой поверхности. Две петли называются гомотопными, если одну из них можно продеформировать в другую без разрывов и склеек, оставаясь на поверхности. Ниже приведен простейший случай стягивания петли на плоскости или сфере:
Даже если петля на плоскости или сфере имеет самопересечения, ее все равно можно стянуть:
На плоскости можно стянуть любую петлю:
А вот какие петли бывают на торе:
Стянуть такие петли невозможно. (К сожалению, доказательство выходит довольно далеко за рамки нашего рассказа.) Более того, показанные петли на торе не гомотопны. Предлагаем слушателям или читателям найти еще одну петлю на торе, не гомотопную этим двум — это очень простой вопрос. После этого попробуйте найти на торе четвертую петлю, не гомотопную этим трем — это будет несколько сложнее.
Теперь, когда мы познакомились со всеми основными понятиями из формулировки гипотезы Пуанкаре, попробуем приступить к доказательству двумерного случая (лишний раз отметим, что это многократно проще трехмерного случая). А поможет нам в этом эйлерова характеристика.
Эйлеровой характеристикой поверхности M назовем число B−P+Г. Здесь Г — число многоугольников, Р — это число ребер после склейки (в случае рассматриваемых поверхностей это половина числа сторон всех многоугольников), B — это число вершин, которое получается после склейки после склейки.
Если две схемы склейки задают гомеоморфные поверхности, то у этих схем числа B−P+Г одинаковы, т. е. B−P+Г является инвариантом поверхности.
Если поверхность уже как-то задана, то надо нарисовать на ней какой-нибудь граф, чтобы после разрезания по нему поверхность распалась на куски гомеоморфные дискам (например, кольца запрещены). Затем подсчитываем величину B−P+Г — это и есть эйлерова характеристика поверхности.
Будут ли гомеоморфны поверхности с одинаковыми эйлеровыми характеристиками, мы узнаем позже. Но совершенно точно можно утверждать, что если эйлеровы характеристики у поверхностей разные, то поверхности не гомеоморфны.
Знаменитое соотношение B−P+Г=2 для выпуклых многоугольников (теорема Эйлера) является частным случаем этой теоремы. В данном случае речь идет о конкретной поверхности — о сфере. Замечание Обозначение: Эйлерову характеристику поверхности M будем обозначать через χ(M): χ(M) = B − P + Γ
Если поверхность M связна, то χ(M) ≤ 2, причем χ(M) = 2 тогда и только тогда, когда M гомеоморфна сфере.
Посмотрев лекцию до конца, вы узнаете, как же все-таки доказывается гипотеза Пуанкаре в размерности 2, и как Григорию Перельману удалось доказать ее в размерности 3.
«Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 году великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854-1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в энциклопедии: «Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой — открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер» (БСЭ, изд. 3-е, т. 2). Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер — как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.
На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
В следующих абзацах мы постараемся хотя бы частично и очень приблизительно разъяснить смысл этой устрашающей словесной формулы. Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой.
В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие без края» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфно» означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она — в том же самом «известном смысле» — и есть трёхмерная сфера.
Понятие односвязности — довольно простое понятие. Представим себе канцелярскую резинку (то есть резиновую нить со склеенными концами) столь упругую, что она, если её не удерживать, стянется в точку. От нашей резинки мы потребуем ещё, чтобы при стягивании в точку она не выходила за пределы той поверхности, на которой мы её расположили. Если мы растянем такую резинку на плоскости и отпустим, она немедленно стянется в точку. То же произойдёт, если мы расположим резинку на поверхности глобуса, то есть на сфере. Для поверхности спасательного круга ситуация окажется совершенно иной: любезный читатель легко найдёт такие расположения резинки на этой поверхности, при которой стянуть резинку в точку, не выходя за пределы рассматриваемой поверхности, невозможно. Геометрическая фигура называется односвязной, если любой замкнутый контур, расположенный в пределах этой фигуры, можно стянуть в точку, не выходя за названные пределы. Мы только что убедились, что плоскость и сфера односвязны, а поверхность спасательного круга не односвязна. Не односвязна и плоскость с вырезанной в ней дырой. Понятие односвязности применимо и к трёхмерным фигурам. Так, куб и шар односвязны: всякий находящийся в их толще замкнутый контур можно стянуть в точку, причём в процессе стягивания контур будет всё время оставаться в этой толще. А вот баранка не односвязна: в ней можно найти такой контур, который нельзя стянуть в точку так, чтобы в процессе стягивания контур всё время находился в тесте баранки. Не односвязен и крендель. Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.
Надеемся, что читатель не забыл, ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех точек, расположенных между его концами, сами же концы в состав интервала не входят: можно сказать, что интервал — это отрезок с удалёнными из него концами, а отрезок — это интервал с добавленными к нему концами. Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных многообразий, причём интервал есть многообразие без края, а отрезок — многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов. Главное свойство многообразий, лежащее в основе их определения, состоит в том, что в многообразии окрестности всех точек, за исключением точек края (которого может и не быть), устроены совершенно одинаково.
При этом окрестностью какой-либо точки А называется совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки А. Микроскопическое существо, живущее в многообразии без края и способное видеть только ближайшие к себе точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы Т: здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек — это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного многообразия — линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразии без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием — а вот с краем или без края, зависит от того, куда мы относим контур дыры. Если мы относим его к дыре, получаем многообразие без края; если оставляем контур на плоскости, получаем многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании ножницами вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.
Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется «ошкуренный шар», а в более научном языке — открытый шар. Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе со своей корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, то есть как поверхность), получим многообразие без края в виде «ошкуренной баранки». Всё пространство в целом, если понимать его так, как оно понимается в средней школе, есть трёхмерное многообразие без края.
Математическое понятие компактность отчасти отражает тот смысл, какой слово «компактный» имеет в повседневном русском языке: «тесный», «сжатый». Геометрическая фигура называется компактной, если при любом расположении бесконечного числа её точек они накапливаются к одной из точек или ко многим точкам этой же фигуры. Отрезок компактен: для любого бесконечного множества его точек в отрезке найдётся хотя бы одна так называемая предельная точка, любая окрестность которой содержит бесконечно много элементов рассматриваемого множества. Интервал не компактен: можно указать такое множество его точек, которое накапливается к его концу, и только к нему, — но ведь конец не принадлежит интервалу!
За недостатком места мы ограничимся этим комментарием. Скажем лишь, что из рассмотренных нами примеров компактными являются отрезок, окружность, сфера, поверхности баранки и кренделя, шар (вместе со своей сферой), баранка и крендель (вместе со своими корочками). Напротив, интервал, плоскость, ошкуренные шар, баранка и крендель не являются компактными. Среди трёхмерных компактных геометрических фигур без края простейшей является трёхмерная сфера, но в нашем привычном «школьном» пространстве такие фигуры не умещаются. Самое, пожалуй, глубокое из тех понятий, которые связывает между собой гипотеза Пуанкаре, — это понятие гомеоморфии. Гомеоморфия — это наиболее высокая ступень геометрической одинаковости. Сейчас мы попытаемся дать приблизительное разъяснение этому понятию путём постепенного к нему приближения.
Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости — с конгруэнтностью фигур и с их подобием. Напомним, что фигуры называются конгруэнтными, если они совпадают друг с другом при наложении. В школе конгруэнтные фигуры как бы не различают, и потому конгруэнтность называют равенством. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях. Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. Геометрия в целом — более высокая ступень абстракции, нежели физика, а физика — чем материаловедение.
Возьмём, к примеру, шарик подшипника, биллиардный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики — все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для метрической геометрии, но все они одинаковы для геометрии подобия. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб — не одинаковы.
А теперь посмотрим на тор. Top — эта та геометрическая фигура, форму которой имеют баранка и спасательный круг. Энциклопедия определяет тор как фигуру, полученную вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Призываем благосклонного читателя осознать, что шар и куб «более одинаковы» между собой, чем каждый из них с тором. Наполнить это интуитивное осознание точным смыслом позволяет следующий мысленный эксперимент. Представим себе шар сделанным из материала столь податливого, что его можно изгибать, растягивать, сжимать и, вообще, деформировать как угодно, — нельзя только ни разрывать, ни склеивать. Очевидно, что шар тогда можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (буквально: как сдобную витую булку) в форме буквы В. При всём уважении к этому замечательному словарю, слова «в форме цифры 8» кажутся мне более точными; впрочем, с той точки зрения, которая выражена в понятии гомеоморфии, и выпечка в форме цифры 8, и выпечка в форме буквы В, и выпечка в форме фиты имеют одну и ту же форму. Даже если предположить, что хлебопёки сумели получить тесто, обладающее вышеуказанными свойствами податливости, колобок невозможно — без разрывов и склеиваний! — превратить ни в баранку, ни в крендель, как и последние две выпечки друг в друга. А вот превратить шарообразный колобок в куб или в пирамиду — можно. Любезный читатель, несомненно, сумеет найти и такую возможную форму выпечки, в которую нельзя превратить ни колобок, ни крендель, ни баранку.
Не назвав этого понятия, мы уже познакомились с гомеоморфией. Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём непрерывной (т. е. без разрывов и склеивании) деформации; сами такие деформации называются гомеоморфизмами. Мы только что выяснили, что шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой. Просим читателя понимать, что мы привели лишь приблизительное описание понятия гомеоморфии, данное в терминах механического преобразования.
Коснёмся философского аспекта понятия гомеоморфии. Представим себе мыслящее существо, живущее внутри какой-либо геометрической фигуры и не обладающее возможностью посмотреть на эту фигуру извне, «со стороны». Для него фигура, в которой оно живёт, образует Вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается непрерывной деформации, существо деформируется вместе с нею. Если фигура, о которой идёт речь, является шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно в шаре, в кубе или в пирамиде. Однако для него не исключена возможность убедиться, что его Вселенная не имеет формы тора или кренделя. Вообще, существо может установить форму окружающего его пространства лишь с точностью до гомеоморфии, то есть оно не в состоянии отличить одну форму от другой, коль скоро эти формы гомеоморфны.
Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре — Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь — вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами.
Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр. Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира — одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, так что узнать, что там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем. Да и сам смысл вопроса о её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.
Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того. Она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, которые трудно себе вообразить, она объясняет, как такое может быть. К числу таких возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость.
Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, то есть то пространство, которое известно всем и каждому из средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием. Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают «скорее всего. Вселенная бесконечна», другие же — «скорее всего, Вселенная конечна».
Успенский В.А., Апология математики, или о математике как части духовной культуры, журнал «Новый мир», 2007 г., N 12, с. 141-145.
ИГРА РАЗУМА
Еще недавно математика не сулила ни славы, ни богатства своим «жрецам». Им даже Нобелевскую премию не давали. Нет такой номинации. Ведь, по весьма популярной легенде, жена Нобеля однажды изменила ему с математиком. И в отместку богач лишил всю их крючкотворную братию своего уважения и призовых денег.
Ситуация изменилась в 2000 году. Частный математический Институт Клэя (Clay Mathematics Institute) выбрал семь наиболее трудных задач. И пообещал за решение каждой платить по миллиону долларов. На математиков посмотрели с уважением. В 2001 году на экраны даже вышел фильм «Игры разума», главным героем которого стал математик.
Ныне только далекие от цивилизации люди не в курсе: один из обещанных миллионов — самый первый — уже присужден. Приза удостоен российский гражданин, житель Санкт-Петербурга Григорий Перельман за решение гипотезы Пуанкаре, которая его стараниями стала теоремой. 44-летний бородач утер нос всему миру. И теперь продолжает держать его — мир — в напряжении. Поскольку неизвестно, возьмет ли математик честно заслуженный миллион долларов или откажется. Прогрессивная общественность во многих странах натурально волнуется. По крайней мере газеты всех континентов ведут хронику финансово-математической интриги.
И на фоне этих увлекательных занятий — гаданий и дележа чужих денег — как-то потерялся смысл достижения Перельмана. Президент Института Клэя Джим Карлсон, конечно, заявлял в свое время, мол, цель призового фонда — не столько поиск ответов, сколько попытка повысить престиж математической науки и заинтересовать ею молодых людей. Но все-таки в чем суть?
ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ — ЭТО ЧТО?
Загадка, разгаданная российским гением, затрагивает основы раздела математики, именуемого топологией. Ее — топологию — часто называют «геометрией на резиновом листе». Она имеет дело со свойствами геометрических форм, которые сохраняются, если форма растягивается, скручивается, изгибается. Иными словами, деформируется без разрывов, разрезов и склеек.
Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.
Объясняя про гипотезу Пуанкаре, начинают так: представьте себе двухмерную сферу — возьмите резиновый диск и натяните его на шар. Так, чтобы окружность диска оказалась собранной в одной точке. Аналогичным образом, к примеру, можно стянуть шнуром спортивный рюкзак. В итоге получится сфера: для нас — трехмерная, но с точки зрения математики — всего лишь двухмерная.
Затем предлагают натянуть тот же диск на бублик. Вроде бы получится. Но края диска сойдутся в окружность, которую уже не стянуть в точку — она разрежет бублик.
Гриша в молодости — уже тогда он был гением.Фото: АПДалее начинается недоступное воображению обычного человека. Потому что надо представить уже трехмерную сферу — а именно натянутый на что-то, уходящее в другое измерение, шар.
Как написал в своей популярной книге другой российский математик, Владимир Успенский, «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трехчлен».
Так вот, согласно гипотезе Пуанкаре, трехмерная сфера — это единственная трехмерная штуковина, поверхность которой может быть стянута в одну точку неким гипотетическим «гипершнуром».
Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил всех понимающих, что французский тополог был прав. И превратил его гипотезу в теорему.
Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная — единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.
Получается, что Перельман вместе с Пуанкаре огорчили так называемых креационистов — сторонников божественного начала мироздания. И пролили воду на мельницу физиков-материалистов.
А В ЭТО ВРЕМЯ
Гений пока не отказался от миллиона долларов
Математик упорно отказывает в общении журналистам. Нашим — совсем: даже голоса не подает. Западным — бросает реплики через закрытую дверь. Мол, отстаньте. Общается гений, похоже, лишь с президентом Института Клэя Джимом Карлсоном.
Сразу же после того как стало известно про миллион долларов Григория Перельмана, Карлсон на вопрос «Что решил гений?» ответил: «Он даст мне знать в свое время». То есть намекнул, что поддерживает с Григорием связь.
На днях от президента поступило новое сообщение. Его донесла до общественности британская газета The Telegraph: «Он сказал, что в какой-то момент сообщит мне о своем решении. Но он не сказал хотя бы приблизительно, когда это будет. Я не думаю, что это будет прямо завтра».
По словам президента, говорил гений сухо, но вежливо. Был краток. В оправдание Перельмана Карлсон заметил: «Не каждый день человек даже в шутку думает о возможности отказаться от миллиона долларов».
КСТАТИ
За что еще дадут миллион долларов
1. Проблема Кука
Нужно определить, может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.
2. Гипотеза Римана
Существуют так называемые простые числа, например 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, неизвестно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет — тоже окажет услугу криптографии.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
4. Гипотеза Ходжа
В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
5. Уравнения Навье — Стокса
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.
6. Уравнения Янга — Миллса
В мире физики есть гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то существует и ее нижний предел. Но какой — непонятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задачка. Для ее решения необходимо создать «теорию всего» — уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет, наверняка получит и Нобелевскую премию.
Пуанкаре был влиятельным французским философом науки и математики, а также выдающимся ученым и математиком. В основах математики он выступал за конвенционализм, против формализма, против логицизма и против трактовки Кантором его новых бесконечных множеств как независимых от человеческого мышления. Пуанкаре подчеркнул важную роль интуиции в правильном конструктивном фундаменте математики.Он считал, что логика — это система аналитических истин, тогда как арифметика была синтетической и априорной в понимании этих терминов Кантом. Он считал, что математики могут использовать методы логики для проверки доказательства, но они должны использовать интуицию для создания доказательства.
Он утверждал, что неевклидовы геометрии столь же легитимны, как и евклидова геометрия, потому что все геометрии являются условностями или «замаскированными» определениями. Хотя все геометрии связаны с физическим пространством, выбор одной геометрии над другими — это вопрос экономии и простоты, а не вопрос поиска истинной среди ложных.
Для Пуанкаре цель науки — предсказание, а не, скажем, объяснение. Хотя каждая научная теория имеет свой собственный язык или синтаксис, который выбирается условно, вопрос о том, согласуются ли научные предсказания с фактами, не является условным. Например, вопрос о том, следует ли определять гравитацию в соответствии с теорией тяготения Ньютона, является вопросом соглашения, но не является вопросом соглашения относительно того, является ли гравитация силой, действующей на небесные тела, или единственной силой, которая действует так.Итак, Пуанкаре считал, что научные законы — это условности, а не произвольные условности.
У Пуанкаре был особенно интересный взгляд на научную индукцию. Он сказал, что законы не являются прямым обобщением опыта; это не просто краткое изложение точек на графике. Скорее, ученый объявляет закон некоторой интерполированной кривой, которая является более или менее гладкой и поэтому пропускает некоторые из этих точек. Таким образом, научная теория не может быть напрямую опровергнута данными опыта; вместо этого процесс фальсификации является более косвенным.
Пуанкаре родился 29 апреля 1854 года в Нанси и умер 17 июля 1912 года в Париже. Семья Пуанкаре была влиятельной. Его двоюродный брат Раймон был президентом и премьер-министром Франции, а его отец Леон был профессором медицины в университете Нанси.Его сестра Алина вышла замуж за философа-спиритуалиста Эмиля Бутру.
Пуанкаре изучал горное дело, математику и физику в Париже. С 1881 года преподавал в Парижском университете. Там он руководил кафедрами физической и экспериментальной механики, математической физики и теории вероятностей, небесной механики и астрономии.
В начале своей научной карьеры в докторской диссертации 1879 г. Пуанкаре разработал новый способ изучения свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями.Он не только столкнулся с проблемой определения интеграла таких уравнений, но и был первым, кто изучил общие геометрические свойства этих функций. Он ясно видел, что этот метод был полезен при решении таких проблем, как стабильность солнечной системы, в которой вопрос стоит о качественных свойствах планетных орбит (например, являются ли орбиты регулярными или хаотическими?), А не о численных. решение гравитационных уравнений. Во время своих исследований дифференциальных уравнений Пуанкаре использовал неевклидову геометрию Лобачевского.Позже Пуанкаре применил к небесной механике методы, которые он представил в своей докторской диссертации. Его исследования стабильности Солнечной системы открыли двери для изучения хаотических детерминированных систем; а методы, которые он использовал, привели к алгебраической топологии.
Пуанкаре набросал предварительную версию специальной теории относительности и заявил, что скорость света является предельной скоростью и что масса зависит от скорости. Он сформулировал принцип относительности, согласно которому никакой механический или электромагнитный эксперимент не может отличить состояние равномерного движения от состояния покоя, и вывел преобразование Лоренца.Его фундаментальная теорема о том, что каждая изолированная механическая система возвращается через конечное время [время возврата Пуанкаре] в свое начальное состояние, является источником многих философских и научных исследований энтропии. Наконец, он ясно понял, насколько радикальным является отход квантовой теории от классической физики.
Пуанкаре глубоко интересовался философией науки и основаниями математики. Он выступал за конвенционализм и против формализма и логицизма. Теория множеств Кантора также была объектом его критики.Он написал несколько статей о философской интерпретации математической логики. За свою жизнь он опубликовал три книги по философии науки и математики. Четвертая книга была опубликована посмертно в 1913 году.
В своем исследовании проблемы трех тел Пуанкаре стал первым человеком, открывшим хаотическую детерминированную систему. Учитывая закон всемирного тяготения и начальные положения и скорости только трех тел во всем пространстве, последующие положения и скорости фиксированы, поэтому система трех тел является детерминированной.Однако Пуанкаре обнаружил, что эволюция такой системы часто бывает хаотической в том смысле, что небольшое возмущение в начальном состоянии, такое как небольшое изменение начального положения одного тела, может привести к радикально другому последнему состоянию, чем могло бы быть произведено невозмущенным телом. система. Если небольшое изменение не обнаруживается нашими измерительными приборами, мы не сможем предсказать, какое конечное состояние произойдет. Итак, исследование Пуанкаре доказало, что проблема детерминизма и проблема предсказуемости — разные проблемы.
С философской точки зрения результаты Пуанкаре не получили должного внимания. Кроме того, научное направление исследований, которое открыл Пуанкаре, игнорировалось до тех пор, пока метеоролог Эдвард Лоренц в 1963 году не открыл заново хаотическую детерминированную систему, изучая эволюцию простой модели атмосферы. Ранее Пуанкаре предположил, что трудности надежного предсказания погоды связаны с внутренним хаотическим поведением атмосферы. Другой интересный аспект исследования Пуанкаре — это реальная природа распределения в фазовом пространстве устойчивых и неустойчивых точек, которые настолько перемешаны, что он не пытался составить картину их расположения.Теперь мы знаем, что форма такого распределения фрактальна. Однако научное изучение фракталов не началось до работы Бенуа Мандельброта в 1975 году, спустя столетие после первого открытия Пуанкаре.
Почему исследования Пуанкаре игнорировались и недооценивались? Проблема интересна тем, что Пуанкаре был удостоен важной научной премии за свои исследования; и его исследования в области небесной механики были признаны имеющими фундаментальное значение. Наверное, причин было две. Ученые и философы в первую очередь интересовались революционно новой физикой относительности и квантовой механикой, но Пуанкаре работал с классической механикой.Кроме того, поведение хаотической детерминированной системы можно описать только с помощью численного решения, сложность которого ошеломляет. Без помощи компьютера задача практически безнадежна.
Логики, такие как Бертран Рассел и Готтлоб Фреге, считали, что математика — это в основном ветвь символической логики, потому что они полагали, что математическая терминология может быть определена с использованием только терминологии логики, и потому что после этого перевода терминов можно показать любую математическую теорему. быть переформулировкой теоремы логики.Пуанкаре возражал против этой логической программы. Он был интуиционистом, который подчеркивал важную роль человеческой интуиции в основах математики. Согласно Пуанкаре, определение математической сущности — это не описание существенных свойств сущности, а построение самой сущности; другими словами, законное математическое определение создает и оправдывает свой объект. Для Пуанкаре арифметика — это синтетическая наука, объекты которой не являются независимыми от человеческого мышления.
Пуанкаре указал на это в своем исследовании аксиоматизации арифметики Пеано. Итальянский математик Джузеппе Пеано (1858-1932) аксиоматизировал математическую теорию натуральных чисел. Это арифметика неотрицательных целых чисел. Помимо некоторых чисто логических принципов, Пеано использовал пять математических аксиом. Неформально это следующие аксиомы:
Бертран Рассел сказал, что аксиомы Пеано представляют собой неявное определение натуральных чисел, но Пуанкаре сказал, что это так, только если можно продемонстрировать их непротиворечивость.Их можно показать непротиворечивыми, только показывая, что существует какой-то объект, удовлетворяющий этим аксиомам. С общей точки зрения система аксиом может рассматриваться как неявное определение, только если возможно доказать существование по крайней мере одного объекта, удовлетворяющего всем аксиомам. Доказать это непростая задача, поскольку количество следствий аксиом Пеано бесконечно, и поэтому прямая проверка каждого следствия невозможна. Достаточным кажется только один способ: мы должны убедиться, что если предпосылки вывода в системе согласуются с аксиомами логики, то вывод тоже.Следовательно, если после n выводов не будет никакого противоречия, то после n +1 выводов также не будет никакого противоречия. Пуанкаре утверждает, что это рассуждение представляет собой порочный круг, поскольку оно опирается на принцип полной индукции, непротиворечивость которого мы должны доказать. (В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость аксиом Пеано, но его доказательство потребовало использования ограниченной формы трансфинитной индукции, чья собственная непротиворечивость вызывает сомнения.) Как следствие, Пуанкаре утверждает, что если мы не можем доказать непротиворечивость некруглым путем, из аксиом Пеано, то принцип полной индукции, конечно, нельзя доказать с помощью общих логических законов; таким образом, это не аналитическое, а синтетическое суждение, и логицизм опровергается.Очевидно, что Пуанкаре поддерживает эпистемологическую точку зрения Канта на арифметику. Для Пуанкаре принцип полной индукции, который нельзя доказать с помощью аналитических выводов, является подлинным синтетическим априорным суждением. Следовательно, арифметику нельзя свести к логике; последнее — аналитическое, а арифметическое — синтетическое.
Синтетический характер арифметики также очевиден, если мы рассмотрим природу математических рассуждений. Пуанкаре предлагает различать два разных вида математического вывода: проверка и доказательство .Проверка или корректура — это своего рода механическое рассуждение, в то время как создание доказательства — плодотворный вывод. Например, утверждение «2 + 2 = 4» поддается проверке, потому что его истинность можно продемонстрировать с помощью логических законов и определения суммы; это аналитическое утверждение, допускающее прямую проверку. Напротив, общее утверждение (коммутативный закон сложения)
Для любых натуральных чисел x и y: x + y = y + x
не поддается прямой проверке.Мы можем выбрать произвольную пару натуральных чисел a и b , и мы можем проверить, что a + b = b + a ; но существует бесконечное количество допустимых вариантов выбора пар, поэтому проверка всегда бывает неполной. Другими словами, проверка коммутативного закона — это аналитический метод, с помощью которого мы можем проверить каждый частный случай общей теоремы, но доказательство самой теоремы представляет собой синтетическое рассуждение, которое действительно расширяет наши знания, полагал Пуанкаре.
Другой аспект математического мышления, анализируемый Пуанкаре, — это разные роли интуиции и логики. Методы формальной логики элементарны и достоверны, и на них можно положиться. Однако логика не учит нас строить доказательства. Именно интуиция помогает математикам найти правильный способ собрать базовые выводы в полезное доказательство. Пуанкаре предлагает следующий пример. Неквалифицированный шахматист, наблюдающий за партией, может проверить, является ли ход допустимым, но он не понимает, почему игроки перемещают определенные фигуры, поскольку он не видит плана, определяющего выбор игроков.Подобным образом математик, использующий только логические методы, может проверить каждый вывод данного доказательства, но не может найти оригинального доказательства. Другими словами, каждый элементарный вывод в доказательстве легко проверить с помощью формальной логики, но изобретение доказательства требует понимания — постигаемого интуицией — общей схемы, которая направляет усилия математика к конечной цели.
Логика — согласно Пуанкаре — изучение свойств, общих для всех классификаций.Существует два различных типа классификаций: предикативных, классификаций, которые не изменяются введением новых элементов; и предварительных классификаций , которые модифицированы новыми элементами. Определения, а также классификации делятся на предикативные и непредикативные. Набор определяется законом, согласно которому создается каждый элемент. В случае бесконечного множества процесс создания элементов остается незавершенным; таким образом, всегда есть новые элементы.Если их введение изменяет классификацию уже созданных объектов, то определение является непредикативным. Например, посмотрите фразы, содержащие конечное количество слов и определяющие точку пространства. Эти фразы расположены в алфавитном порядке, и каждая из них связана с натуральным числом: первая связана с числом 1, вторая — с 2 и т. Д. Следовательно, каждая точка, определяемая такими фразами, связана с натуральным числом. Теперь предположим, что новая точка определяется новой фразой.Для определения соответствующего номера необходимо вставить эту фразу в алфавитном порядке; но такая операция изменяет число, связанное с уже классифицированными точками, определяющая фраза которых следует в алфавитном порядке за новой фразой. Таким образом, это новое определение является непредсказуемым.
По мнению Пуанкаре, непредикативные определения являются источником антиномий в теории множеств, и запрет на непредикативные определения устранит такие антиномии. С этой целью Пуанкаре провозглашает принцип порочного круга: вещь не может быть определена относительно совокупности, которая предполагает саму вещь.Другими словами, в определении объекта нельзя использовать набор, к которому принадлежит объект, потому что это дает импредикативное определение. Пуанкаре приписывает принцип замкнутого круга французскому математику Ж. Ришар. В 1905 году Ричард открыл новый парадокс в теории множеств и предложил предварительное решение, основанное на принципе порочного круга.
Запрет Пуанкаре на непредикативные определения также связан с его точкой зрения на бесконечность. Согласно Пуанкаре, существуют две разные школы мысли о бесконечных множествах; он назвал эти школы канторианской и прагматической .Канторианцы — реалисты по отношению к математическим объектам; эти сущности обладают реальностью, независимой от человеческих представлений. Математик обнаруживает их, но не создает. Прагматики считают, что вещь существует только тогда, когда она является объектом акта мышления, а бесконечность — это не что иное, как возможность разума порождать бесконечную серию конечных объектов. Практикующие математики обычно реалисты, а не прагматики или интуиционисты. Этот спор идет не о роли непредикативных определений в порождении антиномий, а о независимости математических сущностей от человеческого мышления.
Открытие неевклидовой геометрии опрокинуло общепринятую кантовскую точку зрения, согласно которой истинная структура пространства может быть известна априори. Чтобы понять точку зрения Пуанкаре на основы геометрии, полезно вспомнить, что во время своих исследований функций, определяемых дифференциальными уравнениями, он фактически использовал неевклидову геометрию. Он обнаружил, что некоторые геометрические свойства легко доказываются с помощью геометрии Лобачевского, в то время как их доказательство не является прямым в евклидовой геометрии.Кроме того, Пуанкаре знал об исследованиях Бельтрами геометрии Лобачевского. Бельтрами (итальянский математик, 1835-1899) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского по отношению к евклидовой геометрии посредством перевода каждого термина геометрии Лобачевского в термин евклидовой геометрии. Перевод тщательно подбирается так, чтобы каждая аксиома неевклидовой геометрии переводилась в теорему евклидовой геометрии. Перевод Бельтрами и исследование функций Пуанкаре привели Пуанкаре к утверждению, что:
Согласно Пуанкаре, все геометрические системы имеют дело с одними и теми же свойствами пространства, хотя каждая из них использует свой собственный язык, синтаксис которого определяется набором аксиом. Другими словами, геометрии различаются по своему языку, но они связаны с одной и той же реальностью, поскольку геометрия может быть переведена в другую геометрию.Есть только один критерий, по которому мы можем выбрать геометрию, а именно критерий экономичности и простоты. Именно по этой причине мы обычно используем евклидову геометрию: она самая простая. Однако в отношении конкретной проблемы неевклидова геометрия может дать нам результат с меньшими усилиями. В 1915 году Альберт Эйнштейн счел более удобным, как сказал бы традиционалист, развивать свою общую теорию относительности, используя неевклидову, а не евклидову геометрию. Реалист, оппонент Пуанкаре, не согласился бы и сказал, что Эйнштейн открыл, что пространство неевклидово.
Трактовка геометрии Пуанкаре применима также к общему анализу научных теорий. Каждая научная теория имеет свой собственный язык, который выбран по соглашению . Однако, несмотря на эту свободу, согласие или несогласие между предсказаниями и фактами не является условным, а является существенным и объективным. Наука имеет объективную ценность. Научные прогнозы часто бывают точными не случайно или не из-за свободы выбора.
Эти соображения проясняют конвенционализм Пуанкаре.Существует объективный критерий, не зависящий от воли ученого, по которому можно судить об обоснованности научной теории, а именно о точности ее предсказаний. Таким образом, принципы науки не устанавливаются произвольно. Поскольку научные предсказания верны, наука дает нам объективные, хотя и неполные, знания. Свобода ученого заключается в выборе языка, аксиом и фактов, заслуживающих внимания.
Однако, согласно Пуанкаре, любой научный закон можно проанализировать на две части, а именно на принцип , который является общепринятой истиной, и на эмпирический закон .Следующий пример принадлежит Пуанкаре. Закон:
Небесные тела подчиняются закону тяготения Ньютона
Закон состоит из двух элементов:
Мы можем рассматривать первое утверждение как принцип, как условность; таким образом, это становится определением гравитации. Но тогда второе утверждение — это эмпирический закон.
Отношение Пуанкаре к конвенционализму иллюстрируется следующим утверждением, которым завершается его анализ классической механики в книге Science and Hypothesis :
Являются ли законы ускорения и сложения сил ничем иным, как произвольными условностями? Условные обозначения, да; произвольно, нет; они казались бы произвольными, если бы мы забыли опыт, который привел основателей науки к их принятию и который, хотя и несовершенен, достаточен, чтобы их оправдать.Иногда полезно обратить внимание на экспериментальное происхождение этих условностей.
Согласно Пуанкаре, хотя научные теории происходят из опыта, они не поддаются проверке или опровержению с помощью одного только опыта. Например, рассмотрим задачу поиска математического закона, описывающего данную серию наблюдений. В этом случае репрезентативные точки наносятся на график, а затем интерполируется простая кривая.Выбранная кривая будет зависеть как от опыта, который определяет репрезентативные точки, так и от желаемой гладкости кривой, даже если чем плавнее кривая, тем больше некоторые точки будут пропускать кривую. Следовательно, интерполированная кривая — и, следовательно, предварительный закон — не является прямым обобщением опыта, поскольку он «исправляет» опыт. Несоответствие между наблюдаемыми и рассчитанными значениями, таким образом, рассматривается не как фальсификация закона, а как поправка, которую закон вносит в наши наблюдения.В этом смысле всегда существует необходимое различие между фактами и теориями, и поэтому научная теория не может быть напрямую опровергнута опытом.
По Пуанкаре, цель науки — предсказывать. Для выполнения этой задачи наука использует обобщения, выходящие за рамки опыта. Фактически, научные теории — это гипотезы. Но каждую гипотезу нужно постоянно проверять. А если он не проходит эмпирический тест, от него нужно отказаться. Согласно Пуанкаре, научная гипотеза, которая оказалась несостоятельной, все еще может быть очень полезной.Если гипотеза не проходит эмпирическую проверку, то этот факт означает, что мы пренебрегли некоторым важным и значимым элементом; таким образом, гипотеза дает нам возможность обнаружить существование непредвиденного аспекта реальности. Вследствие этой точки зрения на природу научных теорий Пуанкаре предполагает, что ученый должен использовать несколько гипотез, поскольку очень трудно найти неправильную гипотезу в теории, использующей множество гипотез.
Для Пуанкаре существует много разновидностей гипотез:
Что касается точки зрения Пуанкаре о научных теориях, то наибольшую ценность имеют следующие:
СБОРНИК НАУЧНЫХ РАБОТ (на французском языке).
ФИЛОСОФСКИЕ РАБОТЫ.
ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РАБОТЫ.
РАБОТЫ О ПОИНКАРЕ ».
Мауро Мурзи
Электронная почта: [email protected]
Италия
Гипотеза Пуанкаре , в топологии гипотеза — теперь доказанная истинная теорема — о том, что каждое односвязное замкнутое трехмерное многообразие топологически эквивалентно S 3 , которое является обобщением обычного сферы в более высокое измерение (в частности, множество точек в четырехмерном пространстве, которые равноудалены от начала координат).Гипотеза была высказана в 1904 году французским математиком Анри Пуанкаре, который работал над классификацией многообразий, когда он заметил, что трехмерные многообразия создают некоторые особые проблемы. Эта проблема стала одной из важнейших нерешенных проблем алгебраической топологии.
«Простое соединение» означает, что фигура или топологическое пространство не содержит дыр. «Закрытый» — это точный термин, означающий, что он содержит все свои предельные точки или точки накопления (такие точки, что независимо от того, насколько близко один подойдет к какой-либо из них, другие точки на рисунке или множестве будут находиться в пределах этого расстояния) .Трехмерное многообразие — это обобщение и абстракция понятия криволинейной поверхности до трех измерений. «Топологически эквивалентный» или гомеоморфный означает, что существует непрерывное взаимно однозначное отображение, которое является обобщением концепции функции, между двумя наборами. Трехмерная сфера, или S 3 , представляет собой набор точек в четырехмерном пространстве на некотором фиксированном расстоянии от данной точки.
Подробнее по этой теме
Топология: Фундаментальная группа
… из этих вопросов, называемых гипотезой Пуанкаре , спрашивают, существует ли компактное трехмерное многообразие с тривиальным фундаментом…
Позже Пуанкаре распространил свою гипотезу на любую размерность, или, более конкретно, на утверждение, что каждое компактное n -мерное многообразие гомотопически эквивалентно сфере n (каждое может быть непрерывно деформировано в другое), если и только если он гомеоморфен сфере n . Другими словами, сфера n — это единственное ограниченное пространство размером n , которое не содержит дыр. Для n = 3 это сводится к его первоначальной гипотезе.
Для n = 1 гипотеза тривиально верна, поскольку любое компактное, замкнутое, односвязное одномерное многообразие гомеоморфно окружности. Для n = 2, что соответствует обычной сфере, гипотеза была доказана в XIX веке. В 1961 году американский математик Стивен Смейл показал, что гипотеза верна для n ≥ 5, в 1983 году американский математик Майкл Фридман показал, что она верна для n = 4, а в 2002 году русский математик Григорий Перельман окончательно закрыл гипотезу. решение, доказав его истинность для n = 3.Все трое математиков были награждены медалью Филдса после своих доказательств. Перельман отказался от медали Филдса. Перельман со своим доказательством также получил право выиграть 1 миллион долларов — одну из семи миллионов долларов, предложенных Институтом математики Клея (CMI) в Кембридже, штат Массачусетс, за решение Задачи тысячелетия. Поскольку Перельман опубликовал свое доказательство в Интернете, а не в рецензируемом журнале, он не сразу был награжден премией «Проблема тысячелетия». Другие математики подтвердили доказательство Перельмана в рецензируемых журналах, а в 2010 году CMI предложила Перельману вознаграждение в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре.Как и в случае с медалью Филдса, Перельман отказался от премии.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчасСегодня, 17 июля 2012 года, исполняется 100 лет со дня смерти великого французского эрудита Анри Пуанкаре, которого когда-то называли «последним из универсалистов». Его достижения охватывают математику (он заложил основу теории хаоса), физику (его математические методы до сих пор используются при изучении элементарных частиц), философию (его рамки для исследования научных теорий по-прежнему вызывают споры) и психологию творчества (он изучал методы работы. бессознательного).
Пуанкаре также был удивительным связующим звеном между Эйнштейном и Пикассо, которые оба были вдохновлены его бестселлером «Наука и гипотеза», опубликованным в 1902 году.
Работая патентным клерком в Берне, Швейцария, Эйнштейн был в центре внимания исследовательская группа, его «мозговой центр», один из которых описал, как книга Пуанкаре «очаровала их». В нем Пуанкаре переходит от анализа научных теорий к анализу восприятия и исследует саму мысль, перенося читателя в кристально чистой прозе к самым границам знания.Как писал Эйнштейн много лет спустя: «Пуанкаре осознал истину [отношения повседневного опыта к научным концепциям] в своей книге».
Но Эйнштейн считал зависимость Пуанкаре от повседневного опыта и лабораторных данных слишком ограничивающей. Весной 1905 года он пошел еще дальше. Результатом стала его теория относительности.
Пуанкаре не был стереотипным ученым, а был ближе к мышлению художника. Эдуард Тулуза, психолог, специализирующийся на творчестве, брал у него интервью в 1897 году и писал, что мысль Пуанкаре «была спонтанной, малоосознаваемой, больше похожей на сновидение, чем на рациональную, которая кажется наиболее подходящей для работ чистого воображения».
Поэтому неудивительно, что Пикассо тоже был вдохновлен своей работой. Но как он о нем узнал? У Пикассо был «мозговой центр» авангардных литераторов, которые держали его в курсе последних достижений в науке и технологиях. Одним из весьма неожиданных членов был Морис Принст, страховой актуарий, проявлявший большой интерес к высшей математике и философии. После ужинов в бистро он читал импровизированные лекции — часто по науке и гипотезам.
Пикассо особенно поразил совет Пуанкаре о том, как рассматривать четвертое измерение, которое художники считали другим пространственным измерением.Если бы вы могли перенестись в него, вы бы сразу увидели каждую перспективу сцены. Но как спроецировать эти перспективы на холст? Предложение Пуанкаре в «Науке и гипотезах» состояло в том, чтобы делать это по одному, показывая каждую по порядку. Пикассо не согласился. Он хотел изобразить их всех сразу.
Слушая Принца, Пикассо понял, что геометрия предлагает язык для выражения глубокого смысла примитивного иберийского искусства, над которым он работал в то время. В Les Demoiselles d’Avignon он изображает одну из девиц одновременно анфас и в профиль, сразу две перспективы, проекцию из четвертого измерения.Он вышел за пределы Пуанкаре.
Но хотя Эйнштейн и Пикассо превзошли Пуанкаре, его работа подтолкнула их к правильному пути, заставив мыслить за пределами своих дисциплин.
Эйнштейн познакомился с Пуанкаре в 1911 году; они расходились во мнениях по теории относительности. Пикассо никогда не встречал и не знал о существовании Эйнштейна, когда создавал Les Demoiselles d’Avignon, в которых были семена кубизма.
Так кем же был Анри Пуанкаре? Он родился 29 апреля 1854 года в Нанси, Франция. Он был не по годам развитым ребенком и сделал блестящую университетскую карьеру, начав с необычайно оригинальных математических исследований.В 1889 году он получил премию короля Оскара II за исследования стабильности Солнечной системы. Это привело его к созданию топологии, а затем, в 1904 году, к гипотезе о том, что сфера является простейшей формой в трех измерениях. Не так тривиально, как звучит: прошло почти сто лет, прежде чем его гипотеза была доказана эксцентричным российским математиком Григорием Перельманом, который затем резко отказался от премии в миллион долларов за ее решение. В 1905 году Пуанкаре разработал математический метод исследования того, как электроны движутся со скоростями, близкими к скорости света.Это стало бы важным для построения теории относительности Эйнштейна в четырехмерном пространстве-времени (три пространственных измерения с четвертым измерением — временем).
Пуанкаре был среднего роста, крупный, слегка сутулый, с пышной бородой, толстыми очками и легендарным рассеянным видом. Его рукописи, которые я обнаружил в 1976 году, содержат страницу за страницей абстрактной математики и подробных вычислений по физике и астрономии, без каких-либо перечеркнутых строк. В его философских трудах и эссе тоже хватало одного черновика.Он выиграл все научные премии, кроме Нобелевской, в пользу которой велось активное лоббирование.
Высококультурный человек, он был директором l’Académie Française (выдающейся французской литературной академии), а также президентом l’Académie des Sciences, что является исключительной честью.
Однажды он написал: «Цивилизация ценна только благодаря науке и искусству». Он находился в двух мирах, вдохновляя как Эйнштейна, так и Пикассо, и сыграл ключевую роль в том, что вызвало взрыв творчества как в искусстве, так и в науке, который определил тон ХХ века.
Артур Миллер — автор книги Эйнштейн, Пикассо: Пространство, время и красота, вызывающая хаос
« Мы как карлики на плечах гигантов. »
Эта знаменитая метафора, приписываемая Бернару де Шартру, философу XII века, повторно использованная Ньютоном и Паскалем среди других, является данью уважения ученым-предшественникам и признанием совокупного характера научного знания.
В этой статье мы отдадим должное Анри Пуанкаре, блестящему математику, универсальному мыслителю и замечательному физику. Однако мы не будем пытаться дать ему то, что ему не принадлежит, но мы признаем некоторые из его многочисленных вкладов в теорию относительности, основная идея которой явно принадлежит Альберту Эйнштейну.
14 сентября 1904 года Анри Пуанкаре (1854-1912) выступает с докладом на конгрессе искусств и наук в Сен-Луи, штат Миссури, 1 , название: Принципы математической физики , в котором он определяет:
« Принцип относительности, согласно которому законы физических явлений должны быть такими же для неподвижного наблюдателя, как и для наблюдателя, увлекаемого равномерным поступательным движением; так что у нас нет и не может быть никаких средств различения, увлекаемся мы или нет в таком движении. »(Пуанкаре, 1904, стр. 306)
Таким образом, Пуанкаре распространяет относительность движения на все законы физики. Однако мы увидим, что эпистемологический статус этого принципа — это не статус фундаментального принципа, а скорее статус общего закона физики, проверенный (или иным образом аннулированный) экспериментальным путем.
Действительно, в следующем году Пуанкаре публикует статью Динамика электрона , в которой он отмечает эксперименты с эфиром, в том числе эксперименты Майкельсона, на которые он ссылается:
« Кажется, что невозможность экспериментально раскрыть абсолютное движение Земли есть общий закон природы; мы естественным образом вынуждены признать этот закон, который мы назовем постулатом относительности, и признать его неограниченно.Хотя этот постулат, который до сих пор согласуется с экспериментом, должен быть подтвержден или опровергнут более поздними более точными экспериментами, в любом случае представляет интерес посмотреть, какие последствия могут вытекать из него. »(Пуанкаре, 1905)
Из этой цитаты ясно видно, что Пуанкаре считает принцип относительности законом природы, постулируемым не в силу логической необходимости, а потому, что это подтверждают эксперименты. По мнению Пуанкаре, принцип относительности является следствием динамики, которую он пытается идентифицировать (Damour, 2005) в рамках гипотез об электромагнитном происхождении инерции и всех сил.
Он сделает то же самое в аналогичной статье 1908 года. Работая над динамикой, ему нужна концепция эфира. Даже если Пуанкаре считает, что абсолютного физического пространства не существует, он видит эфир как временную, но все же необходимую конструкцию разума, цель которой — упростить наши представления. Следовательно, он всегда будет использовать концепцию эфира в своей работе.
Таким образом, его работа погружена в электромагнитные теории Максвелла, для которого « существование эфира является фундаментальным и неоспоримым фактом физики », Darrigol, 2005, p2) и Лоренца (который работает, например, над расширением электромагнетизм, включая гравитацию), когда он думает о возможном электромагнитном происхождении массы в 1908 году.Даже если он не ищет теории всего электромагнитного, Пуанкаре полностью придерживается теории Максвелла и не ставит ее под сомнение, поэтому работает в совершенно ином контексте, чем у Эйнштейна.
Действительно, Пуанкаре родился в 1854 году и заканчивает свое образование в 1878 году (после Политехнической школы, Ecole des Mines, параллельно с Сорбонной). Теория электромагнетизма на тот момент еще совсем нова (Максвелл опубликовал свою статью Динамическая теория электромагнитного поля в 1865 году), и Пуанкаре представил ее во Франции (Rougé, 2008, стр. 29).
Таким образом, для него это процветающая теория, уже использовавшаяся инженерами еще до того, как он начал преподавать ее в 1887 году, и подтвержденная экспериментами Герца, которые он упоминает в своем классе 1890 года (Rougé, 2008, p29). Он прекрасно знает теорию, полностью ее понимает и передает следующим поколениям физиков. Его мысли о электродинамике и принципе относительности должны укладываться в эту хорошо устоявшуюся совокупность знаний. Он не подходит, если эксперименты опровергают его, принцип следует изменить или даже исключить.
По мнению Пуанкаре, физика переживает период кризиса. Он замечает это, сообщает об этом и вносит предложения, иногда пророческие. М.А. Тоннелат цитирует его:
.« Поэтому нам нужно будет только передать этот вопрос экспериментаторам и, ожидая, пока они окончательно решат спор, не заниматься этими тревожными проблемами и спокойно продолжать нашу работу, как если бы принципы все еще не оспаривались. »(Пуанкаре, 1904, стр. 616 Принципов математической физики)
И она заключает: « Мы видим, насколько мышление Пуанкаре расходится с мышлением Эйнштейна.2}}} В 1889 году Джордж Фрэнсис Фицджеральд (1851-1901) выдвинул гипотезу сокращения длины ( L’éther et l’atmosphère terrestre , Science, 1889), как это сделал независимо Хендрик Антун Лоренц (1853-1928). в 1892 г. (HALorentz, Die relative Bewegung der Erde und des Äthers , Zittingsverlag Akad. Wet. Amsterdam, vol. 1, p74, 1892). В своей книге La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants (Archives Néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, T.2}} Эйнштейн родился в 1879 году и учится в Швейцарском политехническом институте в Цюрихе с 1896 по 1900 год. Однако в лекциях его профессора Генриха Фридриха Вебера (1843-1912) почти ничего не говорится об электромагнетизме (Pais, 1993, p44 et p129). и представляет для него гораздо меньший интерес, чем современная книга Августа Фёппля (1854-1924) Einfürhung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität, Leipzig, Teubner, 1894, или книга Эрнста Маха по механике (Pais, 1993, p44). Он также изучает работу « сторонников философии Маха » (Darrigol, 2005, стр. 15), Пауля Карла Людвига Друде (1863–1906) с его книгой Physik des Aéthers, F. Enke, 1894. Итак, он изучает электромагнетизм сам и в некоторой степени самоучка в области современной физики того времени. Его мышление не зависит от этих идей, и он строит свою точку зрения. Мы видели в последнем посте о группе Лоренца, сформулированном Эйнштейном принципа относительности, в его статье О электродинамике движущихся тел , и мы видим, что он в точности эквивалентен формулировке Пуанкаре (отметим, что Эйнштейн только знал в то время о его книге «Наука и гипотезы», 1902 г., и не знал статей, о которых мы упоминали выше (см. Pais, 1993). Но они все еще заметно различаются по трем пунктам: \ star \ quad Во-первых, у него другая мотивация. Эйнштейн не хочет только исправлять теорию Лоренца, он отвергает асимметрию теории Максвелла в эффекте индукции, когда явление получает два разных объяснения в зависимости от наблюдателя. Именно эта необходимость симметрии оправдывает, по его мнению, диапазон применения принципа относительности ко всей физике. \ star \ quad Кроме того, эпистемологический статус принципа Эйнштейна фундаментально отличается от статуса Пуанкаре: Эйнштейн устанавливает условие для выражения всех законов физики. Если уравнение или постулат не инвариантны относительно преобразования Лоренца, то принцип относительности убеждает нас, что они не являются законами природы. Эйнштейн рассматривает принцип относительности как универсальное свойство, установленное как аксиому, это руководство и основа теории, теория принципа. Это закон о физических законах, сверхзакон (méta-loi). Более того, принцип относительности касается пространства-времени и придает ему физический смысл, даже если это пространство пусто и не имеет тела (это кинематика, то есть условие для выражения динамики ), которую Пуанкаре, думая только о динамике, не мог ни постичь, ни принять (Paty, 1987, p15).Одно только это соображение позволяет нам четко различать роли принципа в работах Пуанкаре и Эйнштейна. К этому мы должны добавить важное различие в стиле: Эйнштейн конструирует теории аксиоматическим методом, а Пуанкаре — просто критик и предлагает решения. , никогда не создавая какой-либо законченной теории, а только исторически представляя идеи (Rougé, 2008, p194). \ star \ quad И наконец, поскольку принцип гласит, что не может быть никакой привилегированной системы отсчета для описания законов физики, механический эфир — это аберрация, которая полностью логически противоречит теории.Попытка сохранить его вынудила бы нас лишить его единственного физического свойства: его неподвижность (Эйнштейн, 1921, стр. 84). Мы увидели, что именно Пуанкаре называет и формулирует принцип относительности, называет и корректирует преобразования Лоренца, сообщает и использует его групповую структуру. К этим примерам можно добавить, что он устанавливает метод синхронизации часов по световым сигналам ( La mesure du temps , Revue de métaphysique et de morale, T.6, janv 1898), формула аддитивности скоростей, инвариантность уравнений Максвелла в вакууме и гипотеза предела скорости света (Пуанкаре, 1905). Не будем забывать, что он уже использует четырехмерный формализм, который вдохновит его на будущие работы Минковского, а затем и на некоторые другие. Что осталось ? Он явно владеет большинством концепций и технических инструментов того, что мы сейчас называем специальной теорией относительности, за исключением (и это фундаментально!) Того, что для него всего лишь поправки , внесенные в работы Лоренца, часть динамики , и более того, в зависимости от электромагнитной теории Максвелла. Это то, что делает Эйнштейна настоящим отцом теории, потому что он представляет в своей статье 1905 года все эти моменты (кроме важности групповой структуры преобразований Лоренца) в согласованной теории , строя кинематику, на основе которой законы физика будет зависеть от (а не наоборот), в том числе от электромагнетизма. Тем не менее, Пуанкаре, несомненно, был великим и главным предшественником среди всех физиков и математиков, сыгравших роль в истории специальной теории относительности. 1. Во время 18-й всемирной выставки, проходящей с 30 апреля по 1 декабря 1904 года. 2. Противоположные знаки означают только рассмотрение обратных преобразований без ограничения общности. \ star \ quad Тибо Дамур, Эйнштейн 1905-1955: приблизительный сын телосложения , Séminaire Poincaré 1, p1-25, 2005. \ star \ quad Olivier Darrigol, Возникновение теории относительности , séminaire Poincaré, 2005. \ star \ quad Альберт Эйнштейн, L’éther et la théorie de la relativité . \ star \ quad Abraham Pais, Subtile est le seigneur, Альберт Эйнштейн: La vie et l’oeuvre , InterEditions, 1993. \ star \ quad Michel Paty, Einstein et la pensée de Newton , La Pensée, номер. 259, p17-37, 1987. \ star \ quad Анри Пуанкаре, L’état actuel et l’avenir de la Physique mathématique , Bulletin des Sciences Mathématiques, série 2, t.28, декабрь 1904 г., стр. 302-324. \ star \ quad Анри Пуанкаре, La Dynamique de l’électron, Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences de Palerme, 1905. \ star \ quad Анри Пуанкаре, Sur la Dynamique de l’électron (FR), примечание манускрит, 5 июля 1905 г. \ star \ quad André Rougé, Relativité Restreinte. Вклад Анри Пуанкаре, , Политехническая школа, 2008. \ star \ quad Marie Antoinette Tonnelat, Histoire du principe de relativité , Фламмарион, Париж, 1971. \ star \ quad Johann Colombano-Rut, La mathématisation de la mécanique relativiste , mémoire de M2 (non publié), 2009. Нет сомнений в уместности обозначения позиции Пуанкаре как эпистемической в некотором смысле, поскольку во всех своих популярных работах он подчеркивает то, что познаваемо. В частности, он постоянно озабочен тем, что нам известно, — конкретными способностями, которыми мы обладаем как человеческие существа.В этом разделе мы кратко рассмотрим его философию математики и используем ее, чтобы выделить роль синтетической априорной интуиции в его философии механики и математической физики. Мы утверждаем, что этот неокантианский аспект философии науки Пуанкаре имеет важные последствия для нашего понимания эпистемологического характера его позиции. Начнем с арифметики и перейдем к геометрии; в последнем мы во многом следуем Folina (1992).Наша цель — перейти от этого фона к случаям механики и математической физики (см. Раздел 2.2). Как и Кант, Пуанкаре обосновал арифметику синтетической априорной интуицией. Пуанкаре утверждает, что «бесконечное повторение одного и того же действия» и, следовательно, рассуждение «путем повторения» существенно для арифметических рассуждений, позволяя нам перейти от частных результатов к общим теоремам. Он утверждает, что это правило рассуждений путем повторения не получено ни из опыта, ни из логики (оно не следует из принципа непротиворечивости), а является синтетической априорной интуицией.Он пишет: «Это правило, недоступное аналитическому доказательству и эксперименту, является точным типом априорной синтетической интуиции» (1902/1952, 12–13). Он продолжает: «У ума есть прямая интуиция этой силы, и эксперимент может быть для него только возможностью использовать ее и тем самым осознать ее» (13). Другими словами, используя правило, мы осознаем, что у нас есть эта интуиция. Пуанкаре также основывал геометрию на синтетической априорной интуиции, но здесь он сделал важное отступление от Канта.В Наука и гипотеза Пуанкаре конструирует математический континуум в два этапа, каждый из которых использует арифметическую синтетическую априорную интуицию «неопределенного повторения одного и того же действия», упомянутую выше. Однако в главе 3 книги Last Essays Пуанкаре недвусмысленно заявляет, что у нас есть интуиция о пространственном континууме, которая не зависит от нашей арифметической интуиции. Он пишет: Я прихожу к выводу, что у всех нас есть интуитивное представление о континууме любого числа измерений, потому что мы обладаем способностью конструировать физический и математический континуум; и что эта способность существует в нас до любого опыта, потому что без нее опыт, собственно говоря, был бы невозможен и был бы сведен к грубым ощущениям, непригодным для любой организации; и потому что эта интуиция — это просто осознание того, что мы обладаем этой способностью.И все же эту способность можно было использовать по-разному; он может позволить нам построить пространство из четырех измерений так же, как и пространство из трех измерений. Это внешний мир, это опыт, который побуждает нас использовать его в одном смысле, а не в другом. (Пуанкаре 1913/1963, 44) И в математике, и в естественных науках Пуанкаре сосредотачивается на том, что мы можем знать, то есть на том, что познаваем мы, как конечные существа, с нашими интуитивными способностями. Фолина утверждает, что в случае арифметики значение синтетического априорного статуса состоит в том, что мы не можем построить «нестандартную» арифметику — или даже любую формальную систему — без этих принципов. Точно так же, говорит она, в случае геометрии (или, скорее, пространственной непрерывности): значение состоит в том, что любое описание мира в том виде, в каком мы его переживаем, обязательно предполагает непрерывность пространства.Она утверждает, что отношение математики к опыту имеет решающее значение для понимания философии математики Пуанкаре: «Математика, как и любая наука, должна искать истину. А правда означает больше, чем просто последовательность. В математике это означает (с точки зрения Пуанкаре), что аксиомы согласуются с нашей интуицией, то есть с формой опыта »(Folina 1992, 114). Как мы еще раз увидим позже, понятие истины для Пуанкаре имеет особое значение применительно к интерсубъективному соглашению относительно экспериментальных данных, и это, что важно, определяет смысл, в котором он воспринимается как реалист. И арифметическая, и пространственная интуиция незаменимы для эмпирической науки. В приведенной выше цитате из Last Essays Пуанкаре заявляет, что сама возможность нашего восприятия мира как содержащего эмпирические объекты зависит от пространственной интуиции, когда он пишет: «Эта способность существует в нас до любого опыта, потому что без нее опыт должным образом говорить было бы невозможно и сводилось бы к грубым ощущениям, непригодным для любой организации.Другими словами, пространственная интуиция — это то, посредством чего наши ощущения конституируются в наши переживания физических объектов; объекты, живущие в пространстве и времени. Но роль априорной интуиции в эмпирической науке выходит за рамки этого, по крайней мере, мы будем возражать. Это связано с тем, что наука об эмпирических объектах выходит за рамки простого опыта объектов: мы должны формировать обобщения по этим объектам, и наша способность формировать эти обобщения сама основана на априорной интуиции.В Наука и Гипотеза часть 1, глава 2, Пуанкаре утверждает, что дело науки касается обобщений — перехода от посылок к заключениям, которые «в некотором смысле более общие, чем предпосылки [ sic ]» (Poincaré 1902/1952 , 4). Его позицию можно резюмировать его собственным лозунгом: «Нет науки, кроме науки общего» (4). Допуская это, мы можем сначала спросить о природе этого обобщения, а затем о том, на чем основана наша способность формировать такие обобщения. Пуанкаре проводит различие между математикой и физическими науками в следующих важных аспектах. Он подчеркивает сходство между рассуждением посредством повторения в арифметике и индукцией в физической науке, а затем указывает, что индукция в физических науках неопределенна, а рассуждение посредством повторения — нет (Poincaré 1902/1952, 13). Причина, по которой он приводит, состоит в том, что успех индукции зависит от «порядка, который является внешним по отношению к нам», тогда как доказательство посредством повторения зависит от своего успеха от «свойства самого разума» (13).Собственные труды Пуанкаре оставляют нас на этом этапе, чтобы провести различие между природой обобщений, обнаруженных в математике и физических науках. Но, отметив это различие, мы все же можем спросить, на чем основана наша способность проводить индуктивные рассуждения в физических науках. Мы видели, что в математике наша способность к обобщениям основана на арифметической интуиции. А как насчет физических наук? Отвечая на этот вопрос, нам кажется, что можно привести правдоподобный аргумент в пользу трех дальнейших ролей априорной интуиции в философии науки Пуанкаре. Чтобы доказать это, мы снова находим анализ Фолины полезным местом для начала. Фолина начинает с роли пространственной интуиции по отношению к нашему восприятию физических объектов, а затем переходит к рассмотрению обобщений: Априорная интуиция — или форма опыта — это то, через что мы понимаем, посредством нашего сенсорного многообразия, опыт. единственного объекта, живущего в пространстве и времени, несмотря на неизбежно неполный характер опыта. Это также то, через что мы понимаем определенные правила как характеризующие бесконечные, но определенные коллекции.Таким образом, априорную интуицию можно рассматривать как способность «замалчивать»: способность, которая замалчивает неполный характер как эмпирического, так и математического опыта. Это процедура, посредством которой мы игнорируем все элементы, которые могут быть сгенерированы правилом, и игнорируем или «сглаживаем» несопоставимый характер восприятия. (1992, 86) Второе место, где играет роль априорная интуиция, заключается в следующем. Пренебрежение некоторыми функциями как несущественными необходимо, но этого недостаточно для того, чтобы сформировать обобщение: нам также требуется концепция неопределенной итеративности (концепция, которая, например,г., позволяет многократно применять правила). Как пишет Фолина: «Пуанкаре считал, что концепция неопределенной итеративности… является основополагающей не только для арифметики, но и для всего систематического мышления; и его эпистемологический источник — синтетическая априорная интуиция. … Он лежит в основе любого систематического мышления, потому что он лежит в основе нашей способности к обобщению »(1992, 93). Короче говоря, наша способность к обобщениям основана на арифметической априорной интуиции, потому что эта интуиция обосновывает нашу способность выполнять итерации.Таким образом, арифметическая интуиция также играет решающую роль в нашей способности делать обобщения относительно эмпирических объектов. Вскоре мы перейдем к третьей роли априорной интуиции, но сначала — с учетом вышеизложенного — мы можем вернуться к тому, что оставил нас Пуанкаре, с различием между математическими рассуждениями путем повторения и индукцией в физических науках. Мы увидели, что различие заключается в объектах, являющихся предметом обобщения. Ошибочность индукции заключается в том, что мы можем ошибаться, когда решаем, какие аспекты конкретных физических объектов считать нерелевантными, а какие принять во внимание при формировании обобщения.Тем не менее, после принятия этого решения, на чем основана наша способность формировать обобщение в случае индукции и в случае математических рассуждений путем повторения: это арифметическая априорная интуиция. Это не то, что говорит Пуанкаре, но, по нашему мнению, это правдоподобный ответ на вопрос, который он оставил без ответа. Правдоподобность этого ответа подтверждается дискуссией, которую предлагает Пуанкаре относительно обобщения в физической науке, как мы сейчас показываем. Обобщение включает в себя две отдельные стадии физической науки.Первый — когда эмпирические данные систематизированы: мы должны провести линию через точки на странице, где записаны наши экспериментальные результаты. Важным моментом для наших целей является то, что этот выбор выходит за рамки «простого» обобщения: «Какими бы робкими мы ни были, здесь должна быть интерполяция. Эксперимент дает нам лишь определенное количество отдельных точек. Они должны быть соединены непрерывной линией, и это настоящее обобщение. Но еще многое предстоит сделать. Проведенная таким образом кривая будет проходить между наблюдаемыми точками и вблизи них; он не пройдет через сами точки.Таким образом, мы не ограничиваемся обобщением нашего эксперимента, мы его исправляем. … Таким образом, отдельные факты не могут нас удовлетворить, и именно поэтому наша наука должна быть упорядочена или, еще лучше, обобщена »(Poincaré 1902/1952, 142–43). Таким образом, интерполяция — акт рисования кривой для соответствия данным — это момент, когда Пуанкаре утверждает, что мы не только обобщаем данные, но и корректируем их. Эта дополнительная особенность эмпирического обобщения (помимо того, что есть в математике) возникает из различной природы объектов, которые служат предметом для обобщений, и приводит к ошибочности этих обобщений. Второй тип обобщения использует результаты этого первого этапа (построение кривых через точки данных) в качестве входных данных для создания эмпирических законов. Следовательно, законы с самого начала основаны на обобщениях. Таким образом, именно эти законы позволяют нам достичь желаемой общности, к которой стремится человеческий разум (Poincaré 1905/1958, 14), и позволяют нам добиться прогресса в науке. По словам Пуанкаре: Кто дает нам право придавать самому принципу большую общность и точность, чем экспериментам, которые служили для его демонстрации? Это вопрос, законно ли обобщать эмпирические данные, как мы это делаем каждый день.… Одно можно сказать наверняка. Если бы нам было отказано в этом разрешении, наука не могла бы существовать; или, по крайней мере, сводится к своего рода инвентаризации, к установлению единичных фактов. Он не будет [ sic ] больше иметь для нас никакой ценности, поскольку не может удовлетворить нашу потребность в порядке и гармонии и в то же время не способен предсказывать. (1902/1952, 129–30) Есть еще третья роль априорной интуиции. Не только наша способность строить обобщения основана на априорной интуиции: наша способность применять полученные обобщения также обоснована. В отношении математики Фолина пишет: «Чтобы понять абстрактную характеристику правила, мы должны понять его произвольный пример. … Применение правила требует, чтобы мы видели, что приложение обладает теми же существенными структурными свойствами, или «формой», что и произвольный пример, приведенный в схематической характеристике правила.Структурными являются аспекты, которыми обладает произвольный экземпляр. Априорная интуиция дает нам возможность понять, что это такое »(1992, 87). Если такое прочтение Пуанкаре верно, то вывод легко распространяется за пределы математики. Физический закон — это особый тип правил, и это обобщение. Чтобы применить законы (обобщения) к физическим объектам, мы должны уметь распознавать, что объекты воплощают закон. Мы могли бы пойти дальше и настаивать на том, что понять физический закон — значит суметь распознать пример этого закона.Дело в следующем: поскольку наша способность распознавать явления как экземпляры закона зависит от арифметической или пространственной интуиции, в философии науки Пуанкаре есть дополнительная роль априорной интуиции. Обобщения, рассматриваемые здесь, являются структурными обобщениями, как подчеркивает сама Фолина. То, что это должно быть так, следует из ее описания априорной интуиции. Более того, есть еще один способ увидеть, что тип обобщения, действующего в физической науке, должен быть структурным.Ниже мы обнаружим, что для Пуанкаре законы фиксируют отношения между вещами; признать, что объекты представляют собой экземпляр данного закона, — значит признать, что они находятся в отношениях, описываемых законом. Чтобы достичь этого, мы должны игнорировать нереляционные особенности объектов, если они представлены нам на опыте. Следовательно, априорная интуиция — это не только то, что позволяет нам делать обобщения, но также то, что позволяет нам применять полученные обобщения. По самой природе того, что задействовано в построении и применении обобщений, они должны касаться отношений: отсюда и название структурных обобщений. Приведенное выше толкование эпистемологии Пуанкаре меняет то, как мы оцениваем эпистемологические и реалистические аспекты философии Пуанкаре. Это прочтение, кроме того, приводит к аргументу в пользу структурализма, проистекающему непосредственно из неокантианских убеждений Пуанкаре, который отличается от любого такого аргумента, встречающегося в современной научной литературе по структурализму. Мы формулируем этот структуралистский аргумент следующим образом: Аргумент 1 — из обобщения 1. Научные законы — это наши обобщения. 2. Мы можем делать обобщения благодаря нашей арифметической синтетической априорной интуиции. 3. В частности, арифметическая интуиция позволяет нам формировать структурные обобщения. 4. Таким образом, научные законы являются структурными обобщениями. Созерцает Пуанкаре
Коперник В июне 1905 г. была создана специальная теория относительности.
описана в двух статьях, одна написана Анри Пуанкаре, а другая —
Альберт Эйнштейн.Пуанкаре отправил свою статью о динамике электрона в
Академии наук в Париже 5 июня, и Эйнштейн представил свой доклад
Об электродинамике движущихся тел в Annalen der Physik в июне
30. После этого Пуанкаре представил более подробную статью (теперь ее часто называют
газету Палермо) в июле, а Эйнштейн выпустил свою статью
Инерция тела зависит от его энергоемкости? в сентябре. По общему признанию, утверждение, что Пуанкаре
документы лета 1905 г. описывали специальную теорию относительности, так как это название
теперь так тесно связан с конкретной точкой зрения, представленной
Эйнштейн.Тем не менее, две статьи Пуанкаре 1905 г. вместе с его
в предыдущих работах четко описывалась теория относительности a , даже если
она не была идентична теории Эйнштейна во всех ее философских
обязательства. Еще в 1898 году Пуанкаре прямо отрицал
оправдание идеи абсолютной одновременности, и предложил
оперативное определение одновременности по световым сигналам. К 1905 году у него было
полные преобразования Лоренца для электродинамики, включая группу
свойство и исправили выражение Лоренца для плотности тока.Кроме того,
он написал Это
оказывается, что невозможность обнаружения абсолютного движения Земли
экспериментом может быть общий закон природы; мы естественно склонны к
признаем этот закон, который мы назовем Постулатом относительности и признаем
без ограничений. Является ли этот постулат, с которым до сих пор согласен,
экспериментом, может быть позже подтвержден или опровергнут экспериментами
большей точности, в любом случае интересно выяснить его
последствия. Далее он говорит, что Лоренц учел
отрицательные результаты Майкельсона и Морли с помощью Фицджеральда
сокращения, но этого самого по себе было недостаточно для обеспечения полного
относительности, потому что сжатие Фитцджеральда было оправдано только для
электромагнитные образования, а не те силы, которые ответственны за
удерживая атомы и субатомные частицы вместе, ни для гравитационного
силы.Действительно, Пуанкаре показывает, что вся инерция заряженной частицы
можно было бы отнести к электромагнитным силам, только если бы заряд был нулевым. ср
должен тогда признать, что, помимо электромагнитных сил, существуют также
неэлектромагнитные силы или связи. Следовательно, нам необходимо определить
условия, которым эти силы или эти связи должны удовлетворять для электронного равновесия
не возмущаться преобразованием [Лоренца]. Таким образом, лоренц-ковариация электромагнетизма не
дают нам право предполагать, что вся физика (особенно механика
материальные объекты) лоренц-ковариантен. Поскольку Пуанкаре не знал (а мы
до сих пор не знаю) происхождение инертной массы, он понял, что это было
необходимо просто вывести трансформационные свойства сил
отвечает за инертную массу из принципа относительности, т.е.е., чтобы
определить условия, которым эти силы или связи должны удовлетворять для электронного
равновесие быть лоренц-ковариантным. Это также было признано
Лоренц. Как заметил Пуанкаре Лоренц
посчитал необходимым расширить свою гипотезу таким образом, чтобы постулат
остается в силе в случае наличия сил неэлектромагнитного происхождения.
По словам Лоренца, на все силы влияет преобразование Лоренца.
так же, как электромагнитные силы. Таким образом, Лоренц показал две вещи: во-первых, что
законы электромагнетизма (уравнения Максвелла) ковариантны относительно Лоренца.
преобразований, и, во-вторых, несколько тавтологически, что если вся физика
(включая инерцию материальных тел) сводится к электромагнетизму,
тогда вся физика ковариантна относительно преобразований Лоренца, и, следовательно,
применяется принцип относительности.Конечно, это повлечет за собой доработку
законов механики, которые ранее считались ковариантными
относительно галилеевых, а не лоренцевых преобразований. Однако никто
умел показать, что механическая инерция полностью сводится к
электромагнитные силы (и теперь мы знаем, что лишь небольшая часть
масса большинства частиц имеет электромагнитное происхождение), поэтому
возможно (и до сих пор невозможно) вывести принцип
относительность таким конструктивным образом.Чем были обязаны Лоренц и Пуанкаре
сделать — это просто предположить, что принцип относительности верен (как и все
указанные эксперименты), а затем сделать вывод о последствиях. Один из них
Следствием этого является то, что, очевидно, вариации всех безмассовых сил должны
распространяются со скоростью света. На этом этапе мы начинаем видеть один аспект
о том, что имеет в виду Пуанкаре, когда говорит о разработке
последствия. Он пишет Если
распространение притяжения [неэлектромагнитных сил] происходит с
скорости света, это не могло быть случайностью.Скорее это должно быть
потому что это функция эфира, и тогда мы должны попытаться
проникнуть в природу этой функции и связать ее с другой жидкостью
функции. Этот отрывок предполагает, что Пуанкаре все еще предан
идеи эфира и даже жидкого эфира (если слово жидкость
переведен точно), но в других сочинениях Пуанкаре уже подвергал сомнению
действительно ли эфир существует как материальная сущность.Кажется, что он
иногда использовали это слово для обозначения вакуума, не говоря уже о
существенная среда. В любом случае этот отрывок также показывает, что Пуанкаре
не удовлетвориться простой гипотезой о том, что все разнообразные явления
природа оказывается ковариантной относительно преобразований Лоренца с
та же характеристическая постоянная c. Другими словами, он не был готов к
примите это как просто случайность. Таким образом, он считал, что Лоренц
ковариация, если она универсальна, должна быть обусловлена природой контекста (т.е.,
эфир), внутри которого существуют эти силы. Он продолжает говорить ср
не может удовлетвориться простым сопоставлением формул, согласующихся с
друг друга только по счастливой случайности; эти формулы должны
говоря, взаимопроникают. Ум будет удовлетворен только тогда, когда он поверит в это.
понял причину этого соглашения, и вера достаточно сильна
чтобы создать иллюзию, что это можно было предсказать. Всего три года спустя Минковский представил свой знаменитый
лекцию «Пространство и время», в которой он описал то, что мы сейчас называем
Структура пространства-времени Минковского, основанная на подходе Эйнштейна к теории относительности,
с его неположительно определенной метрикой и группой преобразований, которые
он назвал G c , в отличие от группы преобразований в
Галилея G ∞ в пространстве-времени. Минковский почти мог быть
отвечая на заявление Пуанкаре выше, когда он написал с
G c математически более понятен, чем G ∞ ,
похоже, эта мысль могла поразить какого-то математика, фантазера
бесплатно, ведь, по сути, природные явления не обладают
инвариантность с группой G ∞ , а скорее с группой G c ,
c является конечным и определенным, но в обычных единицах измерения чрезвычайно
Отлично.Такое предчувствие было бы необычайным триумфом для чистой воды.
математика. Таким образом, Минковский считает, что он понял причину
это соглашение [т.е. ковариантность Лоренца всех явлений], и
вера достаточно сильна, чтобы питать иллюзию, что это могло быть
предсказано. Интересно, что у самого Пуанкаре, похоже, было предчувствие
его собственное. В газете Палермо он продолжил Но
на вопрос можно взглянуть с другой точки зрения, лучше показать с помощью аналогии.Представим себе астронома докоперниканского периода, размышляющего о системе Птолемея;
он заметит, что для всех планет один из двух кругов — эпицикл или отклоняющийся
— проходит одновременно. Этот факт не может быть случайным, и
следовательно, между всеми планетами существует таинственная связь, которую мы можем только
угадай. Коперник, однако, разрушает эту очевидную связь простым
изменение осей координат, которые считались фиксированными. Каждая планета сейчас
описывает одиночный круг, и периоды обращения становятся независимыми Это
не исключено, что здесь происходит нечто подобное.Если бы мы были
Допустим постулат относительности, мы найдем такое же число в законе
гравитации и законов электромагнетизма — скорости света — и мы
найдет его снова во всех других силах любого происхождения. Это состояние
дел можно объяснить одним из двух способов: либо все во вселенной
будет иметь электромагнитное происхождение, или этот аспект — как бы разделяемый
все физические явления — было бы просто эпи-феноменом, чем-то из-за наших
методы измерения. Как
мы идем измерять? Первый ответ будет: мы перевозим твердые
объекты, считающиеся жесткими, один над другим. Но это не так
больше верно в текущей теории, если мы допускаем лоренцево сжатие. В
Согласно этой теории, две длины равны по определению, если они пройдены
свет в равные времена. Возможно, если бы мы отказались от этого определения
Теория Лоренца будет полностью опровергнута, как и система Птолемея.
Вмешательство Коперника. В каком-то смысле именно так была теория Лоренца.
полностью опровергнуты Эйнштейном. На самом деле переписки больше, чем
просто аналогия, потому что инновация Коперника и Эйнштейна была
не что иное, как принятие инерции как основы измерения. Из
строго кинематической точки зрения мы можем с таким же успехом рассматривать Землю или
Солнце как центр Солнечной системы, но Солнце (почти) инерциальный
центр, и успех подхода Коперника над Птолемеем был
в конечном итоге из-за большей простоты и ясности, которые могут быть достигнуты
когда вещи описываются в терминах инерциальной системы координат.так же
Эйнштейн выступал за использование инерциальных систем координат, которые Лоренц
рассматриваются просто как эффективные координаты. Эйнштейн указал, что эти
эффективными координатами были именно те координаты, через которые
инерция однородна и изотропна, что является определением инерционного
система координат. Итак, вместо того, чтобы придерживаться земноцентрической координаты
система Птолемея и Лоренца как единственная истинная система покоя, Коперник и
Эйнштейн выступал за большую ясность и простоту инерциальной
координирует как лучший контекст для организации наших знаний. Разница между Коперником и Эйнштейном в том, что
первый выступал за использование инерционных мер пространства, тогда как второй
также выступал за использование инерционных мер времени. Мы можем видеть из
предыдущая цитата о том, что на каком-то уровне Пуанкаре признал, что Коперниканец
изменение точки зрения могло быть близко (на самом деле он
в Берне, даже когда Пуанкаре писал свою статью в Париже), учитывая
очевидно совпадение лоренц-ковариантности всех физических явлений как
неизбежное следствие фундаментальных мер пространства и времени.Однако, когда он прокомментировал, какой аспект наших мер может быть пересмотрен
он говорил только о пространственных мерах, не упомянув о собственном блестящем
понимание практического значения наших мер времени. Вместо,
Пуанкаре как бы намекает, что инерционная мера пространства (которую он
связанные со световыми метриками) могут быть оставлены. Как выяснилось,
изменение точки зрения, опровергнувшее модель Лоренца, сохранило инерционный
мера пространства и просто объединила ее с инерциальной мерой времени. Пожалуй, самое разительное различие между Пуанкаре и
Эйнштейн в своих трактовках теории относительности в 1905 г.
очевидное мастерство количественных выводов, Пуанкаре был гораздо более
осторожно и неуверенно. Действительно, он завершил предисловие к статье Палермо.
почти извинившись за публикацию этих нескольких частичных результатов на самом
момент, когда эксперименты с катодными лучами (предположительно Кауфмана) кажутся
угрожают всей теории.Аристотель сказал, что признаком образованного ума является
что он может развлекать идею, не принимая ее. Пуанкаре определенно имел
образованный ум, и он исследовал последствия того, что он назвал постулатом относительности, в то же время оставляя за собой суждение относительно того,
постулат может быть позже подтвержден или опровергнут экспериментами
точность. Также стоит отметить, что вторая половина Палермо
статья касается релятивистской гравитации, и теперь мы знаем, что простая
концепция относительности, которую и Пуанкаре, и Эйнштейн предусмотрели в 1905 году, была , а не .
в соответствии с явлениями гравитации.Это осознание пришло к
Эйнштейна только в 1907 году, но мы видим, что Пуанкаре уже беспокоился
об этом (и правильно) в 1905 году. Быстрота и глубина Пуанкаре помешали
его от однозначного принятия (специальной) теории относительности как принципа ,
а не просто постулат. Справедливости ради следует признать, что его
Оговорки были оправданы (по крайней мере, в отношении серьезности, хотя и не
что касается результатов электронно-лучевых исследований). Кроме того, Пуанкаре сделал
важный момент, что гравитационные эффекты должны распространяться со скоростью c
в релятивистской теории и объяснил, почему это не исключил Лаплас.
известный аргумент. В течение оставшихся семи лет жизни Пуанкаре (до
его безвременная смерть в 1912 году) он продолжал писать на тему
относительности, но никогда не упоминал вклад Эйнштейна. Это
понятно, учитывая, насколько полно Пуанкаре, должно быть, чувствовал, что
предвосхитил все основные идеи Эйнштейна в подходе к предмету, и
как в некоторых отношениях он фактически превзошел Эйнштейна в разработке
предмет в их одновременных работах 1905 года.Также возможно, что
Пуанкаре обратил внимание на отсутствие ссылок на самого себя в главной книге Эйнштейна.
статьи по теории относительности. Однако есть одно исключение из этого взаимного отказа
признавать друг друга. В 1906 году Эйнштейн опубликовал статью в Annalen der
Physik под названием «Принцип сохранения движения центра тела».
Гравитация и инерция энергии, в которой он представляет более общий вывод
эквивалентности инерции и энергии, чем та, которую он дал в
Сентябрь прошлого года.Он говорит во введении Хотя
простые формальные соображения, которые необходимо провести, чтобы доказать это
Утверждения в основном уже содержатся в работе А. Пуанкаре [в
Lorentz-Festschrift (1900)], для ясности я не буду основываться на
на этой работе. Помимо этого единственного признания, Эйнштейн никогда не
упоминал вклад Пуанкаре в теорию относительности лишь несколько лет спустя.Примечательно, что
Паис сообщает нам (в своей книге «Тонкий есть Господь»), что в начале 1950-х гг.
спросил Эйнштейна, что он думает о статье Пуанкареса Палермо, и Эйнштейн
ответил, что не читал. Это поражает меня так же удивительно, как если бы
Пуанкаре прожил еще полвека после 1905 года и никогда не читал Эйнштейна.
бумага. Казалось бы, праздное любопытство по крайней мере
побудило Эйнштейна в какой-то момент прочитать статью Палермо. Кроме того, в
письмо Дэвиду Гильберту в 1919 году Эйнштейн написал около г.
гипотеза космического давления (уже учтенная аналогично
Пуанкаре, чтобы сделать электрон понятным). Именно в статье Палермо Пуанкаре обсуждал это
космическое давление, необходимое для удержания заряда электронов вместе, поэтому
комментарий выше, кажется, предполагает, что Эйнштейн действительно читал статью,
вопреки тому, что он сказал Пайсу. В любом случае, Пайс спросил Эйнштейна, будет ли он
любил читать, и Эйнштейн сказал да, поэтому Пайс одолжил ему подержанные
экземпляр репринта Готье-Вильяра.Его так и не вернули, а после
Смерть Эйнштейна Хелен Дукас сказала Паису, что не может найти ее среди его
имущество. Трудно понять, что с этим делать, но Пайс отмечает, что
Эйнштейн в 1953 г. (за два года до своей смерти) написал организаторам
предстоящее празднование 50 -го -летия особого
относительности, заявив, что его здоровье не позволяет ему присутствовать, и добавив Надеюсь
по этому поводу вклад Х.А. Лоренц и Х. Пуанкаре также будут
быть должным образом оцененным. Вернуться в главное меню MathPages вслух задался вопросом, не окажется ли принцип относительности абсолютно верным (Poincaré, 1900b, 1172). В то же время результаты, полученные учеником Габриэля Липпмана, Виктора Кремье, заставили Пуанкаре усомниться в справедливости максвелловской электро-динамики или, по крайней мере, в реальности магнитного эффекта электрического конвектора. т.Лоренц и другие теоретики были убеждены, что, если бы эффекта Роуленда не существовало, это означало бы гибель как теории Максвелла, так и ее последователей , включая собственную электронную теорию Лоренца. Попытка Кремье воспроизвести эффект Роуленда оказалась безуспешной, и, по мнению Пуанкаре , молодой экспериментатор «сделал весьма сомнительным вывод , который казался окончательно установленным» (Poincaré, Rapport sur la thèse de V. Crémieu, 30.05.1901, в Walter et al., 2007, §2-62-6). Уверенность Пуанкаре в результатах Кремье частично проистекала из его конвенциональной философии науки, в которой признавалась важность использования наблюдений и экспериментов в определении направления научных исследований. В отличие от своего бывшего ученика Пьера Дюгема, Пуанкаре верил в «решающий эксперимент », результат которого определяет жизнеспособность теоретических опций или даже целых классов теорий.Исследования магнитного эффекта зарядовой конвекции, выполненные Кремье, Пендером и другими, предоставляют пример такого типа эксперимента, поскольку нулевой результат мог бы опрокинуть принцип Максвелла о замкнутых токовых петлях, а вместе с ним и . , электронных теорий Лармора, Лоренца и Макса Абрахама. После драматической схватки в 1903 году с учеником Роуленда Гарольдом Пендером в лаборатории Эдмона Бути в Сорбонне, где два экспериментатора работали вместе, чтобы измерить эффект Роуленда, Кремье распознал реальность . трехлетние полемика подошли к концу (Walter et al., 2007, §2-17). Это был бесславный момент для Кремье, а также для Пуанкаре, , который с начала 1890-х годов был ведущим представителем и экспертом по теории Максвелла во Франции (Darrigol, 1993). Вслед за лицом Пуанкаре молча переписал отрывок, касающийся эффекта Роуленда во втором издании своего популярного сборника эссе, La science et l’hypothèse: По-видимому, решающим элементом электродинамики была решающая доработка электродинамики. — оценено, по крайней мере, в основных его аспектах.Это спокойное состояние ярмарок af- недавно было нарушено экспериментами г-на Кремье, которые на мгновение показались противоречащими результатам, полученным некоторое время назад Роулендом. Эти эксперименты были опровергнуты последующими исследованиями менее , и теория Лоренца вышла победителем из этого испытания. (Пуанкаре, 1906a, 281) В более поздних изданиях книги Пуанкаре процитированное замечание нигде не встречается. Эйнштейн, отец-основатель «сверхзакона» (méta-loi)
Согласно Эйнштейну, это концепция, которая ничего не упрощает, а является просто источником противоречия, вызывая только проблемы, но не решая их. Заключение
Примечания:
Библиография:
Конференция 14 июля 1920 года в университете Лейда. Французский перевод Мориса Соловина, Готье-Виллар, 1921.
Conférence originale du 24 septembre 1904 au congrès d’Art et de Science de Saint-Louis.
Aussi dans La Valeur de la Science, chapitre 7.
Оригинальная публикация в Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo, t.21, p129-175, 1906 (reçu le 23 июля 1905, imprimé le 14 décembre 1905). Voir aussi l’étude en trois party de H.М. Шварц, Американский журнал физики (номер 39 и 40, страницы 1287–1294, 862–872, 1282–1287), статья Рендиконти Пуанкаре по теории относительности (EN). Эпистемический структурный реализм и философия науки Пуанкаре
2.1. Математика и роль априорной интуиции
2.2. Эмпирическая наука и роль априорной интуиции
Пуанкаре созерцает Коперник
(PDF) Пуанкаре на движущихся часах