Гипотезу пуанкаре – Теорема Пуанкаре – математическая формула «Вселенной». Григорий Перельман. Часть 1 (из серии «Настоящий Человек в науке»)

Гипотеза Пуанкаре — это… Что такое Гипотеза Пуанкаре?

Гипотеза Пуанкаре́ является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.

Формулировка

Гипотеза Пуанкаре

В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает:

Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает:

Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие можно представить как набор сферических пространственных форм , соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм и более того все тривиальны. Таким образом, является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

История

Обложка журнала Science № 314(5807), 2006 год, провозглашающая доказательство гипотезы Пуанкаре «прорывом года».

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n ⩾ 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в 2002 году Григорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных.^[1] Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

См. также

Примечания

Ссылки

• Perelman, Grisha (November 11, 2002), «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications», arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 

• Perelman, Grisha (March 10, 2003), «Ricci flow with surgery on three-manifolds», arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 

• Perelman, Grisha (July 17, 2003), «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds»,
  arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG] 

dic.academic.ru

История науки: гипотеза Перельмана — Индикатор

Чтобы понять гипотезу Пуанкаре, математики предлагают провести мысленный эксперимент, например такой: «Возьмем ракету и привяжем к ней очень длинную веревку и запустим ракету в космос. Ракета с привязанной к хвосту веревкой облетает всю Вселенную и благополучно возвращается на Землю. И теперь у вас в руках оба конца веревки, которую протащили через всю Вселенную. Получилась гигантская петля. Теперь можно вытянуть всю веревку, стягивая петлю. Когда мы вытянем ее всю, что мы сможем сказать о форме Вселенной? Если вы протащите веревку через всю Вселенную и в любом случае сможете стянуть ее до конца, разве вы не признаете, что Вселенная в принципе имеет форму шара?» Таким образом мы бы доказали, что Вселенная представляет собой односвязное многообразие, то есть ее можно стянуть в точку, а, следовательно, и ее появление даже из бесконечно малого «зародыша» не противоречит топологии. Однако если это не удастся, то получается, что Вселенная обладает более сложной топологией, как минимум не проще, чем у тора. Так доказательство гипотезы приобретает мировоззренческое значение.

Человек не может взглянуть на Вселенную со стороны, однако Пуанкаре предположил, что можно математически доказать принадлежность формы Вселенной к тому или иному классу, что и предполагает гипотеза. Первые два доказательства — самого Пуанкаре и человека, обратившего внимание математиков на гипотезу, Джона Уайтхеда, — быстро были опровергнуты самими авторами. Однако интерес к гипотезе нарастал: доказать ее пытались лучшие умы, но безуспешно. Иногда, как в случае математика греческого происхождения Христоса Папакириакопулоса, стремление найти доказательство приобретало характер одержимости, но не приводило к значительным подвижкам. Другому математику, американцу Стивену Смейлу, удалось доказать гипотезу, но только для пространства с большим, чем четыре, числом измерений. Еще один американец, Майкл Фридман, доказал гипотезу для четырехмерного пространства, за что получил медаль Филдса. Однако использовать эти достижения для трехмерного пространства было невозможно.

Найти доказательство гипотезы удалось лишь через 98 лет после ее создания российскому математику Григорию Перельману. Он опубликовал в электронном архиве научных статей и препринтов три статьи, по сути, содержащие это доказательство. По сути — потому что обоснованные в них положения не являются доказательством гипотезы Пуанкаре, но снимают основные проблемы, стоявшие перед математиками. Перельман сделал основную часть работы, оставив приведение доказательства к законченному виду своим коллегам. На это ушло несколько лет: задача осложнялась тем, что в работе использовались не привычные топологам методы, а принципы и понятия дифференциальной геометрии и физики.

Так как заявления о том, что доказательство найдено, звучали уже не раз, неудивительно, что поначалу и к статьям Перельмана отнеслись скептически. Его приглашали в Принстон и другие ведущие университеты с циклом лекций, раскрывающих смысл доказательства. И лишь в 2006 году было вынесено решение — доказательство Перельмана верно, а гипотезу Пуанкаре следуют считать доказанной. За это Перельману присудили премию Филдса, однако принять ее он отказался.

indicator.ru

Что такое гипотеза Пуанкаре?

Представленная в 1887 году Анри Пуанкаре гипотеза практически сразу же после появления взволновала общественность. «Всякое замкнутое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей» – именно так звучит данная гипотеза.

Над нею безуспешно ломали голову ученые – геометры и физики со всего мира. Так продолжалось около 100 лет. Раскрытие секрета утверждения в 2006 году стало настоящей сенсацией. И самое главное – доказательство теоремы было представлено российским математиком Григорием Перельманом.

Вопросы, связанные со сферой двумерного вида, были понятны в девятнадцатом веке. Положения многомерных объектов определены в 1980-х годах. Сложности создавало только определение трехмерных объектов. В 2002 году российским ученым для доказательства было использовано уравнение «плавной эволюции». Благодаря этому ему удалось определить способность трехмерных поверхностей, не имеющих разрывов, деформироваться в трехмерные сферы. Определение, представленное Перельманом, вызвало интерес множества ученых, которые подтвердили, что это решение современного поколения, открывающая перед наукой новые горизонты, обеспечивающая широкие возможности для дальнейших открытий.

Представленная российским ученым теория имела множество недочетов, требовала ряда доработок. В связи с этим ученые взялись за поиски доказательств объяснения. Некоторые из них потратили на это всю свою жизнь.

Гипотеза Пуанкаре простым языком

Вкратце теорию можно расшифровать в нескольких предложениях. Вообразите, немного спущенный воздушный шарик. Согласитесь, это совсем не сложно. Ему очень легко придать необходимую форму – куба или овальной сферы, человека или животного. Доступное разнообразие форм просто впечатляет. При этом существует форма, являющаяся универсальной, – шар. При этом формой, которую невозможно придать шарику, не прибегая к разрывам, является бублик – форма с дыркой. Согласно определению, даваемому гипотезой, предметы, в форме которые не предусмотрено отверстие сквозного типа, отличаются одинаковой основой. Наглядный пример – шар.

При этом тела с отверстиями, на в математике им дано определение – тор, отличаются свойством совместимости друг с другом, но при этом не со сплошными объектами. Например, если мы захотим, то без проблем сможем вылепить из пластилина зайца или кошку, потом превратить фигурку в шар, затем – в собаку или яблоко. При этом можно обойтись без разрывов. В том случае, если изначально был вылеплен бублик, то из него может получиться кружка либо «восьмерка», придать массе форму шара уже не удастся. Представленные примеры наглядно показывают несовместимость сферы и тора.

Гипотеза Пуанкаре применение

Понимание значения гипотезы Пуанкаре наряду с определением открытия, сделанного Григорием Перельманом, позволит намного быстрее разобраться с данным утверждением. Гипотеза может быть использована ко всем материальным объектам нашей Вселенной. При этом вполне допустимо ее верность и применимость положений и непосредственно ко Вселенной. Можно предположить, что началом появления материи послужила незначительная точка одномерного типа, которая прямо сейчас формируется в многомерную сферу. Соответственно возникает множество вопросов – возможно ли найти границы, выявить единый механизм свертывания объекта к первоначальному состоянию и т. д.

Российским ученым было математически доказано, что если поверхность односвязна, не является бубликом, то в результате деформации, обеспечивающей полное сохранение характеристик исследуемой поверхности, можно легко и просто получить арбуз или, проще говоря, сферу. Это может быть любой круглый предмет, который без каких-либо трудностей может быть стянут в точку. Обернув сферу можно при помощи обычного шнурка. В последствии шнур можно связать в узелок. Проделать тоже самое с бубликом не получится.

Самая простая модель, представляющая шар, может быть свёрнута в виде точки. Если Вселенная – это шар, то значит, что она также может быть свернута в одну точку, а после развернута снова. Таким образом Перельман показывает своё умение теоретического управления Вселенной.

labuda.blog

Гипотеза Пуанкаре — Howling Pixel

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2019 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое n{\displaystyle n}-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n{\displaystyle n}-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n=3{\displaystyle n=3}. К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению (0,1)×S2{\displaystyle (0,1)\times S^{2}}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M{\displaystyle M} и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M{\displaystyle M} можно представить как набор сферических пространственных форм S3/Γi{\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}, соединённых друг с другом трубками [0,1]×S2{\displaystyle [0,1]\times S^{2}}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M{\displaystyle M} диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S3/Γi{\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}} и более того все Γi{\displaystyle \Gamma _{i}} тривиальны. Таким образом, M{\displaystyle M} является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n⩾5{\displaystyle n\geqslant 5} получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для n⩾5{\displaystyle n\geqslant 5}, его доказательство было распространено на случаи n=5,6{\displaystyle n=5,6} Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n=4{\displaystyle n=4} было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных^[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

Отражение в средствах массовой информации

• В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»^[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание^[4].
• В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую^[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре^[6].

См. также

Примечания

1. ↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
2. ↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.
3. ↑ Dana Mackenzie. BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved (англ.) // Science : journal. — 2006. — Vol. 314, no. 5807. — P. 1848—1849. — DOI:10.1126/science.314.5807.1848. (англ.)
4. ↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
5. ↑ В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «The Best American Science Writing» за 2007 год.
6. ↑ Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it (англ.) // The New Yorker : magazine. — Condé Nast, 2006. — No. August 21. Архивировано 3 сентября 2012 года. Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».

Литература

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

• Perelman, Grisha (November 11, 2002), «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications», arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG]

• Perelman, Grisha (March 10, 2003), «Ricci flow with surgery on three-manifolds», arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG]

• Perelman, Grisha (July 17, 2003), «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds», arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG]

11 ноября

11 ноября — 315-й день года (316-й в високосные годы) в григорианском календаре.

До конца года остаётся 50 дней.

В XX и XXI веках соответствует 29 октября юлианского календаря.

61 (число)

61 (шестьдесят один) — натуральное число, расположенное между числами 60 и 62.

Analysis situs

«Analysis situs» — цикл статей Анри Пуанкаре, положивший начало систематическому изучению топологии.

Первая из статей опубликована в 1895 году, следующие пять вышли между 1899 и 1904 годами в качестве дополнений к первой . Термин «analysis situs» (с лат. — «анализ положений») для обозначения проблематики алгебраизации геометрии (противопоставляемой аналитической геометрии Декарта) впервые использовал Лейбниц, но открытие самостоятельного направления в математике связано именно с циклом работ Пуанкаре.

В статьях впервые использованы алгебраические структуры для доказательства негомеоморфности топологических пространств, таким образом, эти труды открыли алгебраическую топологию как самостоятельный раздел математики. Среди введённых в статьях понятий, ставших ключевыми в топологии — фундаментальная группа и симплициальные гомологии, числа Бетти и основанный на их свойствах ранний вариант двойственности Пуанкаре, эйлерова характеристика для комплексов. В цикле сформулирован ряд важных проблем, повлиявших на развитие направления, в том числе знаменитая гипотеза Пуанкаре (доказанная в XXI веке).

XXI век

XXI (двадцать первый) век — промежуток времени с 1 января 2001 года по 31 декабря 2100 года по григорианскому календарю. Первый век третьего тысячелетия.

По данным Всемирной метеорологической организации в 2014 году 13 из 14 самых тёплых лет за историю метеонаблюдений приходятся на XXI век.

Гипотеза (математика)

Гипотеза в математике — утверждение, которое на основе доступной информации представляется с высокой вероятностью верным, но для которого не удаётся получить математическое доказательство. Математическая гипотеза является открытой математической проблемой, и каждую нерешённую математическую проблему, которая является проблемой разрешимости, можно сформулировать в форме гипотезы. Однако в виде гипотезы может быть сформулирована не всякая математическая проблема. Например, конкретное решение некоторой системы уравнений или задачи оптимизации для 2208 неизвестных предугадать невозможно, но такое решение может быть не только практическим, но и собственно математическим результатомГипотеза Римана, Великая теорема Ферма, гипотеза Варинга и некоторые другие математические гипотезы сыграли значительную роль в математике, поскольку попытки их доказательства привели к созданию новых областей и методов исследования.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг r{\displaystyle r} эллиптической кривой E{\displaystyle E} над полем K{\displaystyle K} равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля E(L,s){\displaystyle E(L,s)} в точке s=1{\displaystyle s=1}. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел BE=lims→1E(L,s)(s−1)r{\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {E(L,s)}{(s-1)^{r}}}}, где значение BE{\displaystyle B_{E}} зависит от тонких арифметических инвариантов кривых.

Наиболее важным частным результатом по состоянию на 2011 год остаётся доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая E{\displaystyle E} содержит бесконечно много рациональных точек, то E(L,1)=0{\displaystyle E(L,1)=0}.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых^[en].

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.В XX веке математики изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов. Основная идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности. Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов, встречающихся в математике. При этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.

Доказать гипотезу Ходжа удалось для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено, не найдено и доказательство обратного — что гипотеза неверна.

Задачи тысячелетия

Задачи тысячелетия — семь открытых математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2019 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена.

Математический институт Клэя

Математический институт Клэя — частная некоммерческая организация, расположенная в Кембридже, штат Массачусетс (США). Был основан в 1998 году бизнесменом Лэндоном Клэйем (Landon T. Clay) и математиком из Гарварда Артуром Джеффи (Arthur Jaffe). Цель института — увеличение и распространение математических знаний. С этой целью институт выдаёт различные награды и спонсирует многообещающих математиков.

Структура института вполне обычна — совет директоров, который принимает решения о награждениях и выделении грантов и научный комитет, который должен одобрить решение совета директоров. На 2006 год совет директоров состоит из членов семьи Клэев (включая самого Лэндона Клэя), а в научный комитет входят ведущие математики страны — сэр Эндрю Уайлс, Юм-Тон Сиу, Ричард Мелроуз, Григорий Маргулис, Саймон Дональдсон и Джеймс Карлсон.

Перельман, Григорий Яковлевич

Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н (р. 13 июня 1966, Ленинград, СССР) — российский математик, доказавший гипотезу Пуанкаре.

Проблемы Смейла

Проблемы Смейла — список из восемнадцати нерешённых математических проблем, предложенный Стивеном Смейлом в 2000 году. Смейл составил свой список по просьбе Владимира Арнольда, занимавшего в 1995–1998 годах пост вице-президента международного математического союза. Идею этого списка Владимир Арнольд взял из списка проблем Гильберта.

Равенство классов P и NP

Вопрос о равенстве классов сложности P и NP (в русских источниках также известный как проблема перебора) — это одна из центральных открытых проблем теории алгоритмов уже более трёх десятилетий. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.

Отношения между классами P и NP рассматриваются в разделе теории алгоритмов, который называется теорией вычислительной сложности. Она изучает ресурсы, необходимые для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы — это время (сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для решения задачи).

Проблема равенства классов P и NP является одной из семи задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клэя назначил премию в миллион долларов США.

Аналогичная проблема существует и в теории алгебраической сложности для классов VP и VNP.

Старшие размерности

Старшие размерности или пространства старших размерностей — термин, используемый в топологии многообразий для многообразий размерности ≥5{\displaystyle \geq 5}.

В старших размерностях работают важные технические приёмы, связанные с трюком Уитни (например, теорема об h-кобордизме), которые значительно упрощают теорию^{[источник не указан 1185 дней]}.

В противоположность, топология многообразий размерности 3 и 4 значительно сложнее. В частности, обобщённая гипотеза Пуанкаре была доказана сначала в старших размерностях, потом в размерности 4 и только в 2002 году — в размерности 3.

Частный случай пространства большой размерности — N-мерное евклидово пространство.

Сфера

Сфе́ра (др.-греч. σφαῖρα «мяч, шар») — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

Расстояние от точки сферы до её центра называется радиусом сферы.

Сфера радиуса 1 называется единичной сферой.

Теорема Пуанкаре

Теорема Пуанкаре:

Теорема Пуанкаре о векторном поле

Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

Гипотеза Пуанкаре о гомотопической сфере

Теорема Пуанкаре о возвращении

Теория Янга — Миллса

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом, однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности. Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2)xU(1).

Трёхмерная сфера

Трёхмерная сфера, или трёхмерная гиперсфера, иногда 3-сфера, — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Тёрстон, Уильям Пол

Уильям Пол Тёрстон (англ. William Paul Thurston; 30 октября 1946, Вашингтон — 21 августа 2012, Рочестер) — американский математик, один из пионеров маломерной топологии, лауреат премии Филдса (1982).

Четырёхмерная топология

Четырёхмерная топология — раздел топологии, который исследует топологические и гладкие четырёхмерные многообразия.

4-мерные многообразия появляются в общей теории относительности как пространство-время.

На других языках

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Гипотеза Пуанкаре — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2018 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое n{\displaystyle n}-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n{\displaystyle n}-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n=3{\displaystyle n=3}. К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению (0,1)×S2{\displaystyle (0,1)\times S^{2}}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M{\displaystyle M} и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M{\displaystyle M} можно представить как набор сферических пространственных форм S3/Γi{\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}, соединённых друг с другом трубками [0,1]×S2{\displaystyle [0,1]\times S^{2}}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M{\displaystyle M} диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S3/Γi{\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}} и более того все Γi{\displaystyle \Gamma _{i}} тривиальны. Таким образом, M{\displaystyle M} является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n⩾5{\displaystyle n\geqslant 5} получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n⩾5{\displaystyle n\geqslant 5}, его доказательство было распространено на случаи n=5,6{\displaystyle n=5,6} Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n=4{\displaystyle n=4} было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных^[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

Отражение в средствах массовой информации

• В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»^[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание^[4].
• В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую^[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре^[6].

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

• Perelman, Grisha (November 11, 2002), «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications», arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 

• Perelman, Grisha (March 10, 2003), «Ricci flow with surgery on three-manifolds», arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 

• Perelman, Grisha (July 17, 2003), «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds», arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG] 

wikipedia.green

/dev/blog: Смысл гипотезы Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Рассмотрим, что означает эта формулировка с некоторыми упрощениями.

Ссылки:

Топология 

Гипотеза Пуанкаре относится к топологии. Топология изучает свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при их различных преобразованиях и деформациях.

Одно из таких преобразований — гомеоморфизм — непрерывная деформация без разрывов и склеивания, наподобие тому, как можно менять форму пластилиновой фигурки. Таким преобразованием является деформирование куба в шар или чашку (плошку) без ручки, но не в бублик или чашку с ручкой.

Односвязность означает, что, накинув петлю на фигуру любым способом, можно эту петлю стянуть в точку, причем она всегда должна оставаться строго на поверхности фигуры. Например, это верно для шара, но не верно для тора (бублика).

Наглядные объяснения есть по последним трем приведенным ссылкам.

Многообразия и размерности

Многообразие можно представить, как однородное и «плотное» (не «рыхлое») множество точек в пространстве, без края (напрмер, внутренность шара, исключая его край — сферу).

Двумерный случай

Допустим, требуется исследовать свойства поверхности трехмерной фигуры. С одной стороны, такая поверхность — множетсво точек в трехмерном пространстве.

Однако, чтобы сделать рассуждения проще, мы можем перейти к эквивалентному представлению поверхности трехмерной фигуры, как двумерной фигуры, у которой некоторые краевые точки отождествлены.

Пример:

Поверхность трехмерного тора (бублика) можно представить как двумерный квадрат, у которого отождествлены противоположные стороны.

Это означает, что в трехмерном пространстве этот квадрат изогнут так, что противоположные стороны соединены: сначала соединим две из них, получая цилиндр, потом изогнем этот целиндр, склеивая два основания.

Двумерному жителю поверхности тора мир будет представляться как бесконечная замкнутая гладкая полоскость, причем, продолжая движение в одну сторону, он вскоре вернется в исходную точку.

Итак, в топологии двумерным многообразием называют плоску фигуру с отождествлением некоторых краевых точек, которая описывает поверхность некоторого трехмерного тела, например:

•  Квадрат с отождествленными противоположными сторонами — поверхность тора.
•  Круг, у которого все точки края отождествлены в одну, то есть «стянуты» в одну в трехмерном пространстве. Это поверхность шара — можно представить себе круглый кусок ткани, который натянули на мяч и стянули край в одну точку.

Трехмерный случай

Точно также, трехмерное многообразие — это трехмерная фигура, у которой некоторые краевые точки отождествлены. Это — поверхность некоторой четырехмерной фигуры.

Таким образом, можно исследовать свойства поверхности четырехмерной фигуры, понизив размерность и рассматривая трехмерную. Это проще для понимания и выкладок.

Трехмерный тор

Трехмерный куб, у которого противоположные грани отождествлены — это поверхность четырехмерного тора, аналогично примеру для двумерного случая.

Трехмерная сфера

Трехмерная сфера — шар в трехмерном пространстве, у которого все краевые точки отождествлены в одну. Он представляет собой поверхность четырехмерного шара.

Так же, как стянув в трехмерном пространстве край двумерного круга (это окружность) в точку, можно натянуть его на трехмерный шар, стянув край трехмерного шара (это сфера) в точку в четырехмерном пространстве, можно натянуть трехмерный шар на четырехмерный.

Трехмерное пространство

Все трехмерное пространство тоже может быть многообразием.

Если бы вы были (трехмерным) жителем поверхности четырехмерной сферы, то вблизи мир представлялся бы вам как трехмерное пространство, причем продолжив движение в одну сторону, вы бы когда-нибудь вернулись бы в исходную точку, аналогично двумерному жителю, ползающему по глобусу.

Наглядные объяснения по поводу таких построений приводятся по первой ссылке (http://www.astronet.ru/db/msg/1195055).

Гипотеза Пуанкаре

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Итак, компакное трехмерное многообразие — это поверхность некоторой четырехмерной фигуры, представленная как трехмерная фигура плюс отождествление некоторых ее краевых точек.

Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерной сферы, представленная как трехмерный шар, у которого все краевые точки отождествленны в одну.

Таким образом, гипотеза гласит, что

Любую односвязную трехмерную фигуру (с некоторым отождествлением краевых точек) непрерывной деформацией без разрывов и склеивания можно преобразовать в сферу, у которой заодно все краевые точки окажутся отождествлены в одну.

Другими словами,

Любую односвязаную поверхность четырехмерной фигуры можно указанной деформацией преобразовать в поверхность четрыехмерной сферы.

Обобщенная гипотеза Пуанкаре

Обобщенный вариант распрастраняет формулировку на пространства остальных размерностей. Доказательство для n = 2 было известно еще Пуанкаре. Для n > 3 доказательства были найдены за последние 100 лет, но для n = 3 удалось лишь сейчас.

Гипотеза Уильяма Терстона

Г. Я. Перельман доказал гипотезу Терстона, в которой предложена классификация всех возможных замкнутых трёхмерных многообразий. Ее частным следствием является справедливость гипотезы Пуанкаре.

gaydov.blogspot.com

Популярная математика: Пуанкаре на пальцах

Недавно СМИ пестрели сообщениями о том, что Григорию Перельману удалось доказать знаменитую гипотезу Пуанкаре. Больше всего общественность поразил тот факт, что триумфатор отказался от положенных наград и премий. К сожалению, о сути открытия журналисты особенно не распространялись, — мы попытаемся восполнить этот пробел.

Гениальный математик, парижский профессор Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями этой науки. Самостоятельно и независимо от работ Эйнштейна в 1905 году он выдвинул основные положения Специальной теории относительности. А свою знаменитую гипотезу он сформулировал еще в 1904 году, так что на ее решение потребовалось около столетия.

Пуанкаре был одним из родоначальников топологии — науке о свойствах геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. К примеру, воздушный шарик можно с легкостью деформировать в самые разные фигуры — как это делают для детей в парке. Но потребуется разрезать шарик, чтобы скрутить из него бублик (или, говоря геометрическим языком, тор) — другого способа не существует. И наоборот: возьмите резиновый бублик и попробуйте «превратить» его в сферу. Впрочем, все равно не выйдет. По своим топологическим свойствам поверхности сферы и тора несовместимы, или негомеоморфны. Зато любые поверхности без «дырок» (замкнутые поверхности), наоборот, гомеоморфны и способны, деформируясь, переходить в сферу.

Если насчет двумерных поверхностей сферы и тора все было решено еще в XIX веке, для более многомерных случаев потребовалось гораздо больше времени. В этом, собственно, и состоит суть гипотезы Пуанкаре, которая расширяет закономерность на многомерные случаи. Немного упрощая, гипотеза Пуанкаре гласит: «Всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере». Забавно, что вариант с трехмерными поверхностями оказался самым непростым. В 1960 году гипотеза была доказана для размерностей 5 и выше, в 1981 — для n=4. Камнем преткновения стала именно трехмерность.

Развивая идеи Вильяма Тёрстена и Ричарда Гамильтона, предложенные ими в 1980-х годах, Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям особое уравнение «плавной эволюции». И сумел показать, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу (это поверхность четырехмерного шара, и существует она в 4-мерном пространстве). По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.

Интересно, что сам Перельман отчего-то не потрудился довести свое решение до окончательного блеска. Описав решение «в целом» в препринте The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в ноябре 2002 года, он в марте 2003 года дополнил доказательство и изложил его в препринте Ricci flow with surgery on three-manifolds, а также сообщил о методе в серии лекций, которые прочел в 2003 году по приглашениям ряда университетов. Ни один из рецензентов не смог обнаружить в предложенном им варианте ошибок, но и публикации в реферируемом научном издании Перельман не выпустил (а именно таковым, в частности было необходимое условие получения премии Математического института Клэя). Зато в 2006 году на основе его метода вышел целый набор доказательств, в которых американские и китайские математики подробно и полностью рассматривают проблему, дополняют моменты, опущенные Перельманом, и выдают «окончательное доказательство» гипотезы Пуанкаре.

www.popmech.ru