Вписать трапецию в трапецию: Трапеция вписана в окружность

Содержание

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Из треугольника ABC

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Отсюда

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

средняя линия

трапеции ABCD,

AD||BC, то

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

Если AD=a, BC=b,

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

Элективный курс «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов»

О.П. Иванченко

ГЕОМЕТРИЯ

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Управление образования администрации

Ангарского городского округа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

О.П. Иванченко

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Элективный курс

Ангарск

2017

Автор-составитель Иванченко Ольга Петровна, учитель математики МБОУ «СОШ №15» г. Ангарск

Иванченко О.П.

Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов: Элективный курс / О.П. Иванченко. – Ангарск: МБОУ «СОШ №15», 2017. – 50с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………….…… 5

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности …………………………………..…………………………….………. 8

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники ………….……………… 8

1.2. Трапеция …………………………………………..………………….. 9

1.3. Анализ учебной литературы ……………..………..………………..10

1.4. Трапеция, вписанная в окружность …………………………………12

1.5. Трапеция, описанная около окружности …..……………………… 13

Глава 2. Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов ………………………………………..….20

2.1. Пояснительная записка ………………………………………………20

2.2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» ………………………………………22

Заключение ……………………………………………………………….44

Литература ………………………………………………………………..45

Приложение 1 (Входная самостоятельная работа) …………………….47

Приложение 2 (Итоговая самостоятельная работа) ……………………49

ВВЕДЕНИЕ

Геоме́трия (от γη — Земля и μετρεω — мера, измерение) — наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела; раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.[1]

В общеобразовательной школе предмет «Геометрия» изучается с 7 класса и, по мнению многих обучающихся, является одним из сложнейших школьных предметов. Многие обучающиеся не понимают назначения геометрии в жизни, так как не собираются связывать свою будущую профессию с математикой вообще.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.[1]

Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.

Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии. Она может быть в строительстве сооружений и оформлении их, в архитектуре, устройстве интерьеров, даже в создании ландшафта.[2]

Каждый день, идя по улице, мы начинаем замечать, что мир состоит из разных геометрических фигур. Окна домов – квадраты или прямоугольники, дорожные знаки – круги, треугольники или прямоугольники. Но иногда встречаются такие фигуры, и даже очень часто, у которых две противоположные стороны параллельны, а две нет – предметы обихода, лобовые и боковые стекла у машин, крыши домов, тротуарная плитка, религиозные знаки и, даже, силуэты одежды.

Эти фигуры похожи на треугольник, у которого срезали вершину. Иногда они правильной формы, иногда – нет. Это трапеции.

В принципе, это давно известная фигура, свойства которой исследовали еще и Евклид, и Архимед.

«Трапецией» называются не только геометрические фигуры, но и спортивный снаряд, и мышцы атлета, и система тросов на яхтах, и женские юбки.

В настоящей работе рассмотрим трапецию, вписанную в окружность и трапецию, описанную около окружности.

Объект исследования: трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее.

Предмет исследования: содержание занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Цель работы: разработка занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Задачи:

1. анализ учебной и методической литературы по теме исследования;

2. подбор теоретического и практического материала;

3. разработка практического и контрольно-измерительного материала.

Структура работы:

Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения, списка литературы и 2 приложений, в которых представлено решение входной и итоговой самостоятельных работ. Общий объем работы 48 страниц.

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. [3]

Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. [4]

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. [5]

Теорема 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. [6]

Площадь

где (полупериметр)

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник. [5]

Теорема 2. Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. [6]

Площадь

где (полупериметр)

r – радиус вписанной окружности

1.2. Трапеция

Понятие трапеции формировалось в течение длительного периода времени. Сначала трапецией называли любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. [7]

Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах».

В XVIII веке понятие трапеции приобрело современные определения:

— «Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие нет»;

— «Трапеция в геометрии – четырехугольник, с парой параллельных сторон, и с другой парой непараллельных»;

— «Трапеция – четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две – непараллельные»;

— «Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна».

Таким образом, трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два противоположных из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции.

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. [8]

1.3. Анализ учебной литературы

Приведем анализ школьных учебников по геометрии на выявление особенностей темы: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности».

Особенности изложения темы в учебнике Л.С. Атанасян и др.

Тема: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в учебнике за 8 класс в параграфе «Вписанная и описанная окружность» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывается теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. На основании, которой авторы приводят замечания, одно из которых:

— не во всякий четырехугольник можно вписать окружность, доказательство которого учащимся предлагается привести самостоятельно.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 710 (стр. 187) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются и в 9 классе. [10]

Особенности изложения темы в учебнике А.В. Погорелова

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не рассматриваются данным автором. Автор дает определение трапеции в разделе за 8 класс и рассматривает ее свойства с доказательством. Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [9]

Особенности изложения тем в учебнике Г.П. Бевз и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в разделе за 8 класс в параграфе «Вписанные и описанные многоугольники» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывают теоремы:

— Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

— Во всякий треугольник можно вписать окружность, и только одну.

На основании, которых авторы приводят следствия, одно из которых:

— если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 1800. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 803 (стр. 146) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются в достаточном объеме. [11]

Особенности изложения тем в учебнике А.Л. Вернер и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Автор в учебнике за 8 класс дает определение трапеции в 8 классе и рассматривает ее свойства с доказательством в параграфе «Четырехугольники с параллельными сторонами». Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [12, 13, 14]

Вывод: В учебниках школьного курса геометрии тема «Трапеция» изучается в 8 классе. Вводятся понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция», «средняя линия трапеции». Так же в учебниках предлагается серия задач по данной теме.

Тема «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» входит в тему «Вписанные и описанные многоугольники» и рассматривается в учебниках Г.П. Бевз и др., Л.С. Атанасян и др. в 8 классе при решении небольшого количества задач на доказательство.

1.4. Трапеция, вписанная в окружность

На основании определения четырехугольника вписанного в окружность можно сформулировать определение трапеции вписанной в окружность.

Трапеция называется вписанной в окружность, если все вершины ее лежат на одной окружности, которая будет называться описанной около трапеции.

Трапецию можно вписать в окружность, если она равнобокая.

	Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]
Доказательство Так как ΔАСD – прямоугольный, вписанный в окружность, то AD – диагональ =>
	Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]
	Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]
	При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]
	Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: Отсюда: [15]

1.5. Трапеция, описанная около окружности

На основании определения четырехугольника описанного около окружности можно сформулировать определение трапеции описанной около окружности.

Трапеция называется описанной около окружности, если все ее стороны касаются одной окружности.

	Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15] AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK
Доказательство Обозначим точки касания буквами L, M, F, K. На основании свойства касательных (Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными), проведенных к окружности из одной точки, имеем: AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK Ч.Т.Д.
	Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам. MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]
Доказательство 1) Пусть отрезок КМ – диаметр вписанной окружности в трапецию. d = 2r = KM 2) Проведем высоту трапеции так, чтобы она проходила через центр окружности, тогда высота КМ = МО + ОК. Следовательно, KM = 2r Ч.Т.Д.
	Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]
	Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]
Доказательство 1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD) 2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD COD = 90º Ч.Т.Д.
	Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]
Доказательство Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n). 1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD) 2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD COD = 90º 4) таким образом, COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков: Ч.Т.Д.
	Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]
Доказательство Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF = m, FD = n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а Ч.Т.Д.

Таким образом, в первой главе рассмотрели теоретические сведения о трапеции, вписанной в окружность и трапеции, описанной около окружности.

Сведем все основные свойства трапеции (рассмотренные в школьном курсе геометрии и нет) в таблицу.

Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее

Трапеция, вписанная в окружность
	Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]
	Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]
	Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]
	При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]
	Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: Отсюда: [15]
Трапеция, описанная около окружности
	Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15] AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK
	Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам. MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]
	Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]
	Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]
	Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]
	Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]

Глава 2.

Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов

В данной главе разработаны содержания занятия по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

2.1. Пояснительная записка

Организационно-методический раздел

Цель занятий: расширить геометрическое представление обучающихся о вписанной и описанной окружности в трапецию.

Задачи занятий:

1. Расширить знания учащихся связанные со свойствами вписанной трапеции;

2. Расширить знания обучающихся связанные со свойствами описанной трапеции;

3. Овладение дополнительными знаниями при решении заданий уровня повышенной сложности итоговой государственной аттестации;

4. Предоставить обучающимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.

Требования к подготовке учащихся

В результате проведенных дополнительных занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» ученик должен:

Знать/понимать

— понятие математического доказательства, примеры доказательств;

— как используются теоремы и свойства при решении заданий повышенной сложности;

— свойства трапеции вписанной в окружность;

— свойства трапеции описанной около окружности.

Уметь

— проводить сложные доказательства, получать следствия, оценивать логическую правильность рассуждений;

— распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

— изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач;

— решать геометрические задачи, опираясь на изученные дополнительные свойства вписанной и описанной трапеции;

— проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Количество часов всего – 6 часов (2 часа в неделю, 3 недели).

Самостоятельных работ – 1 час (входная – 0,5 часа, итоговая – 0,5 часа).

Календарно-тематическое планирование

№ п/п	Содержание урока	Количество часов
1	Вписанная и описанная окружность в трапецию	0,5
1	Входная самостоятельная работа	0,5
2	Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач.	1
3	Трапеция, описанная около окружности. Решение задач.	1
4	Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач	1
5	Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач	1
6	Трапеция, вписанная и описанная около окружности.	0,5
6	Итоговая самостоятельная работа	0,5

2.2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности»

Занятие 1

Тема: Вписанная и описанная окружность в трапецию

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции в окружность, ее свойства.

Тип урока: урок закрепления знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение видов четырехугольников, какой четырехугольник можно вписать и описать около окружности, основные свойства вписанной и описанной окружности в трапецию.

Рассмотрение свойств с доказательством.

Теорема (о вписанной трапеции). Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Дано:

– трапеция

W – описанная окружность

Доказать: — равнобедренная

Доказательство.

1) – вписанная трапеция, следовательно

(1)

Так же: (2)

(по свойству углов при параллельных сторонах).

2) Сравниваем (1) и (2) выражения, получаем:

т.е.

, т.е.

Углы при верхнем и нижнем основаниях попарно равны => АВСD – равнобедренная трапеция.

Ч.Т.Д.

Дано:

– трапеция, описанная около окружности

Доказать:

еорема (об описанной трапеции). Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Доказательство.

Пусть трапеция описана около окружности.

Точки E, F, G, H – точки касания.

Тогда

Если сложить попарно получим равенство

Ч.Т.Д.

3. Закрепление

Выполнение входной контрольной работы рассчитанной на 15-20 мин.

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

4. Итог урока

Занятие 2

Тема: Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной трапеции в окружность, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

Знакомство с содержанием занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной в окружность школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных теорем. (Глава 1, п.1.4)

3. Закрепление

Решение задач.

Задача 1. Трапеция с основаниями см и см и диагональю см вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D, так что см. Найдите длину отрезка AK.

На основании свойства вписанной трапеции .

Из

Если то => равны углы и , что невозможно, так как первый угол меньше второго. Значит, значение 6 не подходит. Остается только 4.

Ответ: 4

Задача 2. В окружности радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

В данной задаче возможны только 2 случая решения. Первый, когда нижнее основание ниже центра окружности, второй случай, когда нижнее основание выше центра окружности. Третий невозможен, так как большее основание .

1 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим и

2 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим ΔAFO по теореме Пифагора

Рассмотрим и

Ответ:

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 3

Тема: Трапеция, описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся об описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств и теорем о трапеции, описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных и теорем. (Глава 1, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 3:5. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка H — основание высоты. Из точки H опущен перпендикуляр HE на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка E делит боковую сторону?

1 случай	2 случай

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥AB

Найти: АЕ : ЕВ = ?

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥CD

Найти: DE : ЕC = ?

Решение.

Пусть из вершины В трапеции ABCD опущена высота ВН на основание AD.

Пусть основания равны AD = 5x и ВС = 3х

Суммы противоположных сторон трапеции равны, поэтому

Рассмотри 1 случай.

Точка Е лежит на стороне АВ.

Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу:

АН2 = АЕ · АВ, откуда

АЕ : ВЕ = 1: 15

Рассмотрим 2 случай.

Точка Е лежит на стороне CD.

ΔDEH = ΔAHB (по гипотенузе и острому углу)

Поэтому DE = AH = x

CE = CD – DE = 3x

Откуда DE : CE = 1 : 3

Ответ: 1 : 15 и 1 : 3

Задача 2. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18 см. Найдите основания этой трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция описная около окружности

РABCD = 112

a = 8

b = 18

Найти: ВС и ВD

Решение.

Так как в трапецию вписана окружность, то АВ + СD = BC + AD = 112 : 2 = 56

АВ = а + b = 18 + 8 = 26 =>

CD = 30

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону на отрезки а и b, то

Высота трапеции 2r = 24, тогда ВН = СН = 24

Из ΔАВН по теореме Пифагора

Из ΔНСD по теореме Пифагора

ВС = НН = 56 – ( АН + НD) : 2 = (56 – 28) : 2 = 14

Тогда AD = АН + НН + НD = 10 + 14 + 18 = 42

Ответ: 14 и 42

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 2, Теорема 7.

Занятие 4

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных теорем. (Глава 1, п.1.4, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция

BC = 14

AD = 40

R = 25

Найти: h

Решение.

Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.

Пусть ВС = 14 – хорда окружности радиуса 25. Существует две хорды, параллельные BC и равные 40. Соответственно, в окружность можно вписать две трапеции с основаниями 14 и 40.

Центр O на серединном перпендикуляре к BC.

1 случай.

В трапеции ABCD центр О окружности лежит внутри трапеции.

В этом случае высота EF = EO + OF

Из прямоугольного ΔАОЕ, в котором АО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Из прямоугольного ΔВFO, в котором BО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Тогда EF = EO + OF = 39

2 случай.

В трапеции A1BCD1 центр О окружности лежит вне трапеции.

Аналогично, находим

Ответ: 39 и 9

Задача 2. На основании ВС трапеции АВСD взята точка Е, лежащая на одной окружности с точками А, С и D. Другая окружность проходящая через точки А, В, и С, касается прямой CD. АВ=12, ВЕ : ЕС = 4 : 5.

а) Докажите, что треугольник АСD подобен треугольнику АВЕ.

б) Найдите ВС.

Дано:

АВСD – трапеция

Е ϵ ВС

АВ = 12

ВЕ : ЕС = 4 : 5

а) Доказать: ΔACD ~ ΔABE

б) Найти: ВС

Решение.

Рассмотрим АЕСD – равнобедренную трапецию вписанную в окружность =>

АЕС + ADC = 1800

Значит, угол ВЕА, смежный с углом АЕС, равен углу АDС

Опишем окружность около ΔАВС.

По условию CD касается окружности, а значит СD ⊥ OC, где О – центр окружности.

Угол между хордой АС и касательной CD равен половине дуги АС второй окружности.

Половине этой же дуги равен вписанный АВС. Найдена вторая пара равных углов. Найдя две пары равных углов, мы доказали подобие треугольников АСD и АВЕ.

Из подобия следует равенство третьей пары углов, ВАЕ = САD

Кроме того равны дуги АЕ и СD, заключенные между параллельными прямыми ЕС и АD

Вписанный CAD равен половине дуги CD, а значит, ВАЕ равен половине дуги АЕ.

ВАЕ – это угол между хордой АЕ и прямой АВ, проходящей через конец хорды А. Значит прямая АВ – касательная ко второй окружности.

Воспользуется свойством секущей и касательной, проведенных к окружности из точки В.

ВА2 = ВЕ · ВС

122 = (4х) · (9х)

36х2 = 144

х2 = 4

х = 2

ВС = 9х = 9 · 2 = 18

Ответ: 18

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 5.

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных свойств. (Глава 1, п.2.1, п.2.2)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию с основаниями а и b. Найдите диагональ трапеции.

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

AD = b

BC = a

Найти: BD

Решение.

Пусть окружность с центром О, вписанная в равнобедренную трапецию АВСD, касается боковой стороны АВ в точке М, а оснований ВС и АD – в точке N и L соответственно.

Поскольку ОМ – высота прямоугольного ΔАОВ, опущенная из вершины прямого угла, то

Опустим перпендикуляр ВН на AD. Тогда

Из прямоугольного ΔBHD находим, что

Ответ:

Задача 2. Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 1200. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

АВСD – трапеция

АОВ = 1200

Найти: среднюю линию трапеции

Решение.

Пусть О – центр окружности, описанной около трапеции АВСD с основаниями AD > BC. Трапеция АВСD – равнобедренная, поэтому

Пусть СК – высота трапеции, тогда АК = h·ctg600 = ,

а так как трапеция равнобедренная, то отрезок АК равен ее средней линии.

Ответ:

Задача 3. Около окружности описана равнобедренная трапеция АВСD. Боковые стороны АВ и СD касаются окружности в точках М и N, К – середина АD. В каком отношении прямая ВК делит отрезок МN?

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

М ϵ АВ

N ϵ СD

AK = KD

Найти: МР : РN = ?

Решение.

Обозначим х = АК, у = ВF, где F – середина ВС. Пусть Q – точка пересечения KF и MN, а Р – точка пересечения MN и ВК. Тогда

АМ = АК = х, ВМ = ВF = у

и Q – середина MN.

Поскольку MN параллельно основаниям трапеции, треугольник ВМР подобен треугольнику ВАК, а треугольник КРQ подобен треугольнику КВF. Поэтому

, значит, РМ = PQ и PM = MN =>

Ответ: 1 : 3

Задача 4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно а. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающееся большего основания.

Дано: АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = ВС

AD = a

Найти: AB, CD

Решение.

Обозначим меньшее основание ВС и меньшую боковую сторону трапеции АВСD через х. Пусть М – точка касания окружности с большим основанием AD. Тогда точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС, поэтому

Пусть К – проекция вершины С на AD. Тогда KD = a – x, CK = x

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что

Тогда

Ответ:

Задача 5. В равнобедренной трапеции с острым угломпри основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?

Дано:

АВСD — равнобедренная трапеция

BAD = ADC =

Найти: АК : КD

Решение.

Пусть О – центр окружности (середина боковой стороны АВ трапеции АВСD), ОР – средняя линия трапеции, К – точка пересечения указанной окружности с большим основанием AD. Тогда ВК – перпендикуляр к AD и . Если М – точка касания окружности с боковой стороной CD, то

Следовательно,

Ответ: sin2

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 6, Теорема 7, Теорема 8, Теорема 9, Теорема 10, Теорема 11

Занятие 6.

Тема: Итоговое занятие.

Цель: проверка усвоения знаний обучающихся по теме курса «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

Тип урока: закрепление

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Закрепление

Обучающимся предлагается, ответит на вопросы (устно):

1. Вопрос: Определение четырехугольника?

Ответ: Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

2. Вопрос: Виды четырехугольников?

Ответ: Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

3. Вопрос: Какая окружность называется вписанной в четырехугольник? Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

Ответ: Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

4. Вопрос: В какой четырехугольник можно вписать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. а + с = b+ d

5. Вопрос: Около какого четырехугольника можно описать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

6. Вопрос: Можно ли описать окружность около трапеции?

Ответ: Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

7. Вопрос: Можно ли вписать окружность в трапецию?

Ответ: Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. АВ + CD = AD + BC

8. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, вписанная в окружность?

Ответ: 1) Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

2) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции.

3) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

9. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, описанная около окружности?

Ответ: 1) Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию

окружности.

2) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

3) Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом.

4) Высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков.

Самостоятельная работа

Выполнение итоговой самостоятельной работы для обучающихся предлагается в виде выполнения теста.

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если __________________________________________________________.

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если __________________________________________________________.

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

11. Выпуклый четырехугольник АВСD вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСD соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАD равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Заключение

В настоящей работе по теме: «Содержание занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов» в первой главе приведены основные теоретические сведения темы исследования, основные свойства и теоремы сведены в таблицу. Проанализированы учебники школьного курса геометрии для обучающихся в 7, 8, 9-х классах, на основании, которых сделан вывод, что темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются в школьном курсе геометрии в 7, 8, 9-х классах для решения задач повышенной сложности.

Во второй главе работы приведены разработки содержания 6 занятий по теме исследования; разработаны входящая и итоговая самостоятельные работы. В приложениях приведены решения данных работ.

Результаты работы могут быть использованы в рамках курса по выбору на дополнительных занятиях по геометрии или для подготовки к итоговой государственной аттестации, так как при проведении государственной итоговой аттестации среди 9-х классов общеобразовательных школ в части С геометрии часто встречается задание по теме «Трапеция вписанная в окружность или трапеция описанная около окружности».

Таким образом, поставленные задачи выполнены, цель достигнута.

Литература

1. http://nsportal.ru/ap/drugoe/library/referat-znachenie-geometrii-v-zhizni-lyudei

2. http://www.kniga.es/articles/article637.shtml

3. http://ru.wikipedia.org/wiki /%D7%E5%F2%FB%F0%B8%F5%F3%E3%EE%EB

4. http://free.megacampus.ru/xbookM0005/index.html ?go=part-021*page.htm

5. http://ege- study.ru/materialy-ege/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva /

6. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html ?go=part-034*page.htm

7. http://otvet.mail.ru/question/47745330

8. http://www.smekalka.pp.ru/node/1586

9. Погорелов А.В., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ – 2-е издание – М.: Просвещение, 1991 – 384 с.

10 Атанасян Л.С. и др., Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.] – 21-е издание – М.: Просвещение, 2011 – 384 с.

11. Бевз Г.П., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992 – 352 с.

12. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 1999 – 192 с.

13. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 192 с.

14. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 9 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 207 с.

15. http://www.uznateshe.ru/trapetsiya-vpisana-v-okruzhnost/

16. http:// www.alexlarin.narod.ru

17. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С4. Многовариантные задачи по планиметрии http://www.alexlarin.narod.ru/ege/2010/C4a

gk.pdf

18. Созоненко Р.С., Теоремы и задачи по планиметрии с перекрестными ссылками. – 2-е издание, исправлено и дополнено – Новосибирск: Издательство ИМ СО РАН, 1998 – 209 с.

19. Гордин Р.К., ЕГЭ 2012 Математика. Решение задач С4. – М.: МЦНМО, 2012 – 328 с.

20. Никитин Н.Н., Геометрия: Учебник для 6-8 классов / Н.Н. Никитин. – М.: Просвещение, 1971 – 209 с.

Приложение 1

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

ВС = 9 см

AD = 21 см

h = 8 см

Найти: R

Решение.

Пусть EF – серединный перпендикуляр c основаниями EF , тогда О – центр окружности лежит на прямой EF.

ОА = ОВ = R.

О делит EF на две части: пусть OF = х, тогда OE = 8-х.

По теореме Пифагора получаем,

АО2 = АF2 + FО2

ОВ2 = ВE2 + EО2.

Так как ОА2 = ОВ2, получим:

АF2 + FО2 = ВE2 + EО2

Ответ: 10,625 см

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

Дано:

АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = а

АD = b

Найти: r

Решение.

Пусть r – радиус окружности вписанной в трапецию ABCD.

Так как трапеция прямоугольная, то АВ = 2r.

Так как трапеция описана около окружности, то AD + BC = AB + CD.

Тогда а + b = 2r + CD.

CD = a + b – 2r

Пусть СЕ – высота, тогда СЕ ⊥ АD и СЕ = АВ = 2r.

ED = b – a.

По теореме Пифагора для треугольника ЕСD имеем

СD2 = CE2 + ED2

или

(а + b – 2r)2 = 4r2 + (b – a)2

Ответ:

Приложение 2

Итоговая самостоятельная работа

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если (суммы его противоположных углов равны 180, )

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если (суммы его длин противоположных сторон равны, а + с = b+ d)

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

Ответ: б)

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

Ответ: б)

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

Ответ: в)

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

Ответ: в)

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

Ответ: а)

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

Ответ: в)

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

Ответ: б)

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

Ответ: г)

11. Выпуклый четырехугольник АВСД вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСД соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАД равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Ответ: а)

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четыреугольник у котрого две стороны паралельны, а две другие стороны не паралельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четыреугольник у которого одна пара противоположных сторон паралельна и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

Основы трапеции — параллельные стороны
Боковые стороны — две другие строрны
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция — трапеция у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция — трапеция у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам


Рис.1		Рис.2

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции паралельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины как сотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через середнюю линию и другую основу:

a = 2m — b

b = 2m — a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a — h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a — c·cos α — d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =	h	d =	h
	sin α		sin β

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d₁d₂	=	sin δ ·	d₁d₂
		a + b			a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d₁d₂	=	sin δ ·	d₁d₂
		2m			2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d₁ = √a² + d² — 2ad·cos β

d₂ = √a² + c² — 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d₁ =	√	d ² + ab —	a(d ² — c²)	d₂ =	√	c² + ab —	a(c² — d ²)
			a — b				a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d₁ = √h² + (a — h · ctg β)² = √h² + (b + h · ctg α)²

d₂ = √h² + (a — h · ctg α)² = √h² + (b + h · ctg β)²

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d₁ = √c² + d ² + 2ab — d₂²

d₂ = √c² + d ² + 2ab — d₁²

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту: 2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через через диагонали и угол между ними:

S =	d₁d₂	· sin γ	=	d₁d₂	· sin δ
	2			2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c² —	(	(a — b)² + c² — d ²	)	²
	2				2(a — b)

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
	\|a — b\|

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
	2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d₁
	4√p(p — a)(p — c)(p — d₁)

где a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
	2		2		a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 2

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

Задачи 51-100

задачи 1-50, задачи 101-150

В треугольник АВС вписана окружность, радиус которой равен 4. Определите стороны АВ и АС, если ВС = 15, а высота BD = 12. ответ: 13; 14
В треугольнике ABC, стороны AB и BC которого равны, проведены высоты BD и AE. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и AEC, равны соответственно 10 и 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. ответ: 15
Площадь прямоугольного треугольника равна 5, а периметр равен 2. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. ответ: 5/3
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а площадь треугольника равна 84. Найдите катеты треугольника. ответ: 7; 24
Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а одна из точек касания делит сторону треугольника на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника. ответ: 21
Площадь треугольника равна 84, одна из его сторона равна 13, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите две другие стороны треугольника. ответ: 14; 15
Периметр прямоугольного треугольника равен 90, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите катеты треугольника. ответ: 9; 40
Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований. ответ: 1; 7
В равнобедренной трапеции основания равны 21 и 9, и высота равна 8. Найдите радиус описанной окружности. ответ: 85/8
Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 9, площадь равна 54 и диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 13
В равнобедренной трапеции боковая сторона равна , а диагональ, равная , делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции. ответ:
Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании. ответ:
Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно , а угол при большем основании равен 60^о. ответ:
В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если АВ = 30, DC = 24 и AD = 3, а угол при большем основании DAB равен 60^о. ответ:
Большее основание трапеции равно 24. Найдите меньшее основание, если расстояние между серединами диагоналей равно 4. ответ: 16
Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 64. Найдите основания трапеции. ответ: 45; 80
В трапеции, основания которой равны и , проведена через точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка прямой, отсекаемого от нее боковыми сторонами трапеции. ответ:
Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны и . Найдите площадь трапеции. ответ:
Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали равна , а длина боковой стороны BC равна . Найдите площадь трапеции. ответ:
В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки и . Определите площадь трапеции. ответ:
В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия равна 16 и большее основание является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции. ответ: 192
Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если в трапецию можно вписать окружность. ответ: 168
Найдите длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры, заключенного между боковыми сторонами трапеции. Основания трапеции равны и . ответ:
В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса . Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найдите площадь трапеции. ответ:
Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции равно 12. Найдите боковую сторону трапеции. ответ: 100/3
Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 15
Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 и 15, а площадь равна 168. Найдите основания трапеции. ответ: 7; 21
В трапеции основания равны 5 и 15, а длины диагоналей равны 12 и 16. Найдите площадь трапеции. ответ: 96
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. ответ: 216
Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7 : 13. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна . Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при ее основании равен . ответ:
В треугольник, стороны которого равны 39, 60 и 63, вписана окружность, и к окружности проведена касательная, параллельная большей боковой стороне треугольника. Найдите площадь полученной трапеции. ответ: 1078
В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону АС в точке М, причем 5MC = 2AC. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20. ответ:
Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30^о. Найдите среднюю линию трапеции. ответ: 8
Внутри треугольника ABC с прямым углом B взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Отрезки AD и DC равны соответственно и . Найдите BD. ответ:
В треугольник вписана окружность радиуса 3. Вычислите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки с длинами 3 и 4. ответ: 7; 24; 25
Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найдите длину гипотенузы. ответ: 13
Вокруг окружности описана трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции. ответ: 20
Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 15; 5
В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 и 8, вписан круг. Найдите радиус этого круга. ответ: 2
В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. ответ: 25
В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиусы кругов. ответ: 15/2
Две равные окружности радиуса пересекаются. В общую часть обоих кругов вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата, если расстояние между центрами окружностей равно . ответ:
В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите CD. ответ: 48
Две окружности радиусов и касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания до их общей внешней касательной. ответ:
Внутри круга, радиус которого равен 13, дана точка М, отстоящая от центра круга на 5. Через точку М проведена хорда АВ, равная 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD. Угол В равен 60^о, отрезок BD равен 1. Найдите гипотенузу. ответ:7
В равнобедренной трапеции диагональ длины образует угол с основанием. Найдите площадь трапеции. ответ:
На сторонах AB, BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки K, M и T таким образом, что AK : KB = 2 : 1, BM : MC = 1 : 1 и AT : TD = 1 : 3. Найдите отношение площадей треугольников KBT и BMT. ответ: 1 : 6
На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KTM расположен центр О окружности, которая касается катетов TK и TM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если BM = 23/16, AK : AC = 5 : 23, где точка С — точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками О и M. ответ: 6/23

Метки геометрия, ЕГЭ, задачи. Смотреть запись.

Трапеция — это… Что такое Трапеция?

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Связанные определения

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция Равнобедренная трапеция

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

В случае, если и — основания и — высота, формула площади:

В случае, если — средняя линия и — высота, формула площади:

ɴʙ Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

Формула, где , — основания, и — боковые стороны трапеции:

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :

В частности, если угол при основании равен 30°, то:

См. также

Примечания

2. Свойства равнобедренной трапации

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

Определения 3
Свойства равнобедренной трапеции 4
Вписанные и описанные окружности 7
Свойства вписанных и описанных трапеций 8
Средние величины в трапеции 12
Свойства произвольной трапеции 15
Признаки трапеции 18
Дополнительные построения в трапеции 20
Площадь трапеции 25

. 10. Заключение

. Список используемой литературы

Приложение

Доказательства некоторых свойств трапеции 27
Задачи для самостоятельных работ
Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности
Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

2. Свойства равнобедренной трапеции

Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, а также противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.
В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.
Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
С
В равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d²= c²+ a• b

10. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.

3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4. Свойства вписанных и описанных трапеций

Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.

2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.

Если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

Е
сли в равнобокую трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.

Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.
Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.
Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны: a² + b² = 4R² = 2c²

1
0. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое

Р
адиус окружности, вписанной в трапецию, есть среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны трапеции, на которые она разбивается точкой касания.
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое произведения оснований трапеции

В
любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему арифметическому оснований, если он соединяет середины боковых сторон (т.е. является средней линией трапеции). MN=(a+b)/2.
В
любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему гармоническому оснований, если он проходит через точку пересечения диагоналей KL =2 ab/(a+b)

В любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.
В
любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).

В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство:

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a
6.Свойства произвольной трапеции

1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

d₁²+ d₂²= c²+ d²+ 2ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d₁²— d₂²= a²– b²

8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7. Признаки трапеции

Ч
етырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда при его диагональном разбиении ровно два противолежащих треугольника равновелики. При этом квадрат площади каждого из них равен произведению площадей смежных с ним треугольников

Если средняя линия четырехугольника равна полусумме противолежащих ей сторон, то четырехугольник является трапецией (или параллелограммом). Если m= (a+b)/2, то ABCD – трапеция (или параллелограмм)
Т
рапеция является равнобедренной, если углы при одном из оснований равны.
Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной

8. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.
2. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.
4
. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.
11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.
13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h или

П
лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m•h.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

П
лощадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату средней линии трапеции или квадрату высоты трапеции. S =h²
Площадь произвольной трапеции со сторонами a, b, c, d:

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.
Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.
Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004
Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.
Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М : Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN5-89155-188-3
Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).
Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.
Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.
Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и b, то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Прямая KL параллельна основанию AD, следовательно, KО║ AD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому

( 1 )

AD ║ BC, ∆AOD ~ ∆COB по двум углам. тогда: т.е.
BD = DO + OD, следовательно

( 2 )

Подставим ( 2 ) в ( 1 ), получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L= KO + LO =

Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

Д
K
окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ

= х, МС = у, AN = и, ND = v. Имеем:

∆ВКМ ~ ∆AKN →

Y
∆MКC ~ ∆NKD → →

D
∆BMO ∆DNO

∆CMO ∆ANO поэтому .

Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует

x=y, но тогда и u = v.

дачи для самостоятельных работ и их решения

3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ: S = 6.

2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

psina
3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

Ответ: 1и 7.

Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Ответ: S= 3ab

В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагонали QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS.

Ответ: RS > QR.

В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС является равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 и CD-3.
В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол CAD равен 60°. Отношение площадей треугольников AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, равно 4. Найти площадь трапеции.

Ответ: S=90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2Sctg а]

Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции. [8.R: sin а]
В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы трапеции и допустимые значения к.

[arccos(l — 1/к), π — arccos(l — 1/к), к > 1]

На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапеции. [30°]
Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции. [(√/а²+Ь²+2аbcos2а):(2sin2а)].
Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ. Найти высоту трапеции…

[√Stg(½ ɑ)]

Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окружности.
В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(—⅔)- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и большего основания трапеции.
Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно к (к > √2). Найти углы трапеции.

4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет

В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности.25j В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближней. Тангенс острого угла трапецииравен

Достарыңызбен бөлісу:

Определение формул площади — элементарная математика

Формулы площади

Студенты, которые неформально понимают, что область — это «количество двумерного« материала », содержащегося внутри области, могут изобрести для себя большинство формул, которые их часто просят просто запомнить. Каждая формула, которую они изобретают заново, помогает им лучше понять (и запомнить) другие формулы, которые они знают. (См. Также площадь поверхности.)

Площадь прямоугольников

Выбирая квадрат в качестве единицы площади, мы получаем интуитивное представление о площади прямоугольников.Если мы решим, что площадь этого квадрата равна 1, то прямоугольник, который в 7 раз длиннее, будет иметь площадь 7 × 1.

Прямоугольник, который в два раза больше высоты, будет иметь удвоенную площадь, поэтому площадь составляет 2 × 7 единиц площади. Мы можем сосчитать два ряда по семь квадратов. Точно так же он имеет 3 ряда по 7 квадратов (или 7 столбцов по 3 квадрата), всего 7 × 3 квадратов, поэтому его площадь составляет 21 квадратную единицу.

Количество квадратов в одном ряду — это длина прямоугольника. Количество строк — это высота прямоугольника.Таким образом, площадь равна длине × высоте.

Поскольку прямоугольник можно нарисовать под наклоном, «высота» определяется как «направление, перпендикулярное основанию», а «основание» определяется как, ну, с какой бы стороны вы ни выбрали его.

Это работает для подсчета чисел. Это работает даже для дробей. Показанный здесь синий прямоугольник измеряет половину единицы длины на пять с половиной единиц длины. Если мы выберем соответствующий квадрат в качестве единицы площади, мы увидим, что синий прямоугольник содержит пять половинных единиц площади и одну четверть единицы площади, или всего две и три четверти единицы площади.(Розовые части показывают заполнение каждой квадратной единицы площади.)

Чтобы включить все числа , мы определяем площадь прямоугольника как основание × высота (где «основание» и «высота» означают длины , этих сторон, , измеренные в те же единицы ).

Площадь параллелограммов

Идея

Мы можем вычислить формулу площади параллелограмма, разрезав параллелограмм и переставив части, чтобы получился прямоугольник.Поскольку параллелограмм и прямоугольник состоят из одинаковых частей, они обязательно имеют одинаковую площадь. (См. Определение площади, чтобы узнать, почему эти области одинаковы.)

Мы видим, что и имеют точно такую же длину основания (синий) и точно такую же высоту (зеленый). Поскольку основание × высота дает площадь прямоугольника, мы можем использовать те же измерения на параллелограмме, чтобы вычислить его площадь: основание × высота .(Как и раньше, «высота» измеряется перпендикулярно основанию, а «основание» — это та сторона, которую вы выбрали первой. См. Параллелограмм.)

На разрезе, показанном выше, легко увидеть, что базовая длина не изменилась. Фактически, перпендикулярный разрез можно делать где угодно по основанию.

Укрепление отверстий

Интуиция и доказательство

Это рассечение дает интуитивное понимание формулы площади параллелограмма, причина , что он должен быть тем, чем он является.Но мы не сомневались, действительно ли рассечение «работает». То есть, когда мы разрезаем параллелограмм и переставляем его части, мы ожидаем, что получит , и результат определенно будет таким. Но внешность может быть обманчива. Что убеждает нас в том, что когда мы перемещаем этот треугольник, в результате получается прямоугольник? Что, если это больше похоже (хотя и менее преувеличено)? Если результат не всегда является идеальным прямоугольником, мы не можем использовать наши знания формулы площади прямоугольника, чтобы разработать формулу для параллелограмма.В старших классах учащиеся смогут доказать, что две части параллелограмма, если правильно собрать их, действительно образуют прямоугольник. В классах K-8 учащиеся по большей части должны полагаться на визуальный эксперимент и получать интуитивное ощущение. Узнайте больше о том, почему эти вскрытия работают.

Что, если мы выберем короткую сторону в качестве основы?

Мы можем выбрать любую сторону в качестве базы; «Высота» определяется как измеряемая перпендикулярно стороне, которую мы выбираем в качестве основания. Если мы возьмем за основу короткую сторону (синюю), то рассечение, показанное выше, не будет таким убедительным.Резка на такой высоте и перестановка деталей оставляет беспорядок:

В этом конкретном примере мы можем спасти беспорядок, сделав еще один разрез, но что, если бы параллелограмм был еще длиннее и тоньше?

Оказывается, любой параллелограмм , независимо от его длины и тонкости, можно разрезать таким образом, чтобы части — возможно, многие из них — могли быть преобразованы в прямоугольник. Но нужно потрудиться, чтобы показать, что это всегда можно сделать. Нам нужна другая идея.

Немного другая идея рассечения в этом случае значительно упрощает жизнь. (Самостоятельно вы можете показать, что это работает и в исходном случае.)

Заключите параллелограмм в прямоугольник.

Две части прямоугольника, которые находятся внутри параллелограмма , а не , являются конгруэнтными треугольниками.

Сдвиньте один из этих треугольников по направлению к другому, пока они не встретятся, образуя прямоугольник. Поскольку общая площадь внешнего прямоугольника не изменилась (это тот же прямоугольник, что и раньше), а желтая область не изменилась (части просто перемещались), разница между ними — фиолетовыми областями — должна быть такой же.Как и раньше, мы также можем видеть, что размеры прямоугольной фиолетовой области являются основанием и высотой исходного параллелограмма.

Интуиция и доказательство, повторение: Опять же, рассечение дает существенное понимание, но требуется немного больше работы, чтобы убедиться, что два желтых треугольника, которые, безусловно, выглядят , как будто они соединяются вместе, образуя прямоугольник, на самом деле точно подходят, а не просто почти .

Почему так важно быть осторожным?

При построении других формул площади (см. Ниже) мы захотим, чтобы использовал , как найти площадь параллелограмма, и поэтому мы хотим иметь возможность полагаться на найденное нами правило.Мы, , можем быть уверены, что при перестановке частей не изменится область: это, в конце концов, то, как мы определяем область . Но мы также должны быть уверены, что детали подходят друг к другу, как мы заявляем, что это , или мы не можем полагаться на сделанные нами измерения. И мы должны быть уверены, что правило base × height не зависит от удачного выбора базы.

В большинстве учебных программ учащиеся не имеют достаточной систематической базы геометрических знаний до 8-го класса, чтобы убедительно доказать, что эти вскрытия работают.Но интуитивного понимания достаточно для объяснения и обоснования формул и хорошей основы для дальнейшего изучения геометрии.

Площадь треугольника

Знание того, как найти площадь параллелограмма, помогает нам найти площадь треугольника.

Рассекая треугольник

Мы можем разрезать треугольник на две части — одну из них треугольник, а другую — трапецию, разрезав его параллельно основанию. Если мы разрежем высоту ровно пополам с этим срезом, две части сложатся вместе, образуя параллелограмм с , то же основание , но на половину высоты .

Итак, основание × на полувысоте дает площадь треугольника. Аналогичный разрез показывает полубаз × высота . Любой из них сокращается до bh .

Удвоение треугольника и уменьшение полученной площади вдвое

Другой способ мышления: две копии треугольника образуют параллелограмм с тем же основанием, и такой же высотой , что и треугольник.

Площадь параллелограмма составляет основание × высота , но это вдвое больше площади треугольника, поэтому площадь треугольника составляет из основания × высоты , как мы видели с методом рассечения.

(Как всегда, выберите «основание» и измерьте высоту перпендикулярно этому основанию, от основания до противоположной вершины.)

Площадь трапеции

Удвоение трапеции и уменьшение полученной площади вдвое

Как и в случае с треугольником, две копии трапеции можно соединить вместе, чтобы получился параллелограмм.

Высота параллелограмма такая же, как высота трапеции, но его основание — это сумма двух оснований трапеции.Таким образом, площадь параллелограмма составляет высоты × ( base1 + base2 ). Но эта площадь составляет две трапеции , поэтому нам нужно разрезать ее пополам, чтобы получить площадь трапеции.

Рассечение трапеции

Мы также можем разрезать трапецию так же, как мы разрезали треугольник, с одним срезом, разрезающим ее высоту пополам. Две части соединяются вместе, образуя параллелограмм, основание которого является суммой двух оснований трапеции, но высота которого равна половине высоты трапеции.

В случае трапеции основания не могут быть выбраны произвольно. Две параллельные стороны являются основаниями, а высота, как всегда, представляет собой перпендикулярное расстояние от одного основания до противоположного.

Площадь этого параллелограмма равна его высоте (полувысоте трапеции), умноженной на его основание (сумма оснований трапеции), поэтому его площадь составляет полувысоты × ( base1 + base2 ). Поскольку параллелограмм состоит из того же материала, что и трапеция, это тоже площадь трапеции.

В любом случае площадь трапеции составляет × высота × ( base1 + base2 ) .

Площадь других специальных четырехугольников

Площадь ромба

Площадь ромба можно найти, разрезав и переставив части, чтобы сформировать параллелограмм. Это можно сделать несколькими способами:

Разрежьте более короткую диагональ (а), чтобы получились два равных треугольника. Переместите нижнюю половину треугольника рядом с верхней половиной, чтобы получился параллелограмм.Более короткая диагональ (a) становится основанием параллелограмма, а половина более длинной диагонали (b) становится высотой параллелограмма. Таким образом, площадь ромба равна a * b или произведению диагоналей, что является стандартной формулой для ромба.

Другой аналогичный способ — разрезать ромб на четыре равных треугольника и переставить их в прямоугольник с более короткой диагональю в качестве основания и половиной длинной диагонали в качестве высоты.

После разрезания ромба на два равных треугольника, мы можем вычислить площадь одного из треугольников, которая равна * основанию (a) * высоте (b) = ab.Затем умножьте на два, так как их два: 2 * ab = ab.

Площадь кайта

Площадь воздушного змея может быть похожа на площадь ромба. Если разрезать более длинную диагональ, получатся два равных треугольника. Если мы переставим их, мы можем сформировать параллелограмм с более длинной диагональю (b) в качестве основания и половиной более короткой диагонали (a) в качестве высоты. Итак, площадь становится b * a = ab. Более сложный подход требует немного алгебры. Разрежьте змей по более короткой диагонали, чтобы сформировать два треугольника с более короткой диагональю (a) в качестве основы.Таким образом, площадь первого треугольника — * волнистая, где волнистая — высота. Площадь второго треугольника равна a * (b — волнистый), где (b — волнистый) — оставшаяся часть большей диагонали. Таким образом, общая площадь становится (a * волнистая) + (a * (b — волнистая)). Вынося за скобки a, получаем a (волнистый + b — волнистый) = ab.

Ну что вы знаете. По сути, вам нужно только знать формулу для площади параллелограмма, а затем вывести формулу для других.

Площадь трапеции — формула, примеры, определение, вывод

Часто задаваемые вопросы по Area of Trapezoid

Что такое площадь трапеции в математике?

Трапеция — это четырехугольник (многоугольник) с четырьмя сторонами, в котором одна пара противоположных сторон параллельна.Площадь трапеции — это количество единичных квадратов, которые могут в нее поместиться. Математически это выражается как A = ½ (a + b) h, где «a» и «b» — основания (параллельные стороны), а «h» — высота перпендикуляра. Он представлен в квадратных единицах.

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции определяется по формуле A = ½ (a + b) h, где ‘a’ и ‘b’ — основания (параллельные стороны), а ‘h’ — высота (перпендикулярное расстояние между основания) трапеции.

Почему площадь трапеции ½ (a + b) h?

Рассмотрим трапецию с основаниями «a» и «b» и высотой «h». Мы можем вырезать часть треугольной формы из трапеции и прикрепить ее внизу так, чтобы вся трапеция превратилась в треугольник. Тогда полученный треугольник имеет основание (a + b) и высоту h. Применяя формулу площади треугольника, площадь трапеции (или треугольника) = ½ (a + b) h. Для получения дополнительной информации вы можете обратиться к Как получить формулу трапеции? раздел этой страницы.

Как найти недостающую основу трапеции, если вы знаете местность?

Площадь трапеции с основаниями «a» и «b» и высотой «h» равна A = ½ (a + b) h. Если даны одно из оснований (скажем, ‘a’), высота и площадь, то мы просто подставим эти значения в приведенную выше формулу и решим это для недостающего основания (a) следующим образом:

A = ½ (a + b) h

Умножение обеих сторон на 2,

2А = (а + б) ч

Делим обе стороны на h,

2А / ч = а + б

Вычитая b с обеих сторон,

а = (2А / ч) —
б
Как определить высоту трапеции по площади и основанию?

Площадь трапеции с основаниями «a» и «b» и высотой «h» равна A = ½ (a + b) h.Мы можем найти высоту трапеции с площадью и основаниями, решив приведенную выше формулу для h следующим образом:

A = ½ (a + b) h

Умножение обеих сторон на 2,

2А = (а + б) ч

Делим обе стороны на (a + b),

ч = (2А) / (а + б).

Какова площадь равнобедренной трапеции со сторонами?

Если даны длины сторон равнобедренной трапеции, то мы разделим ее на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.Мы находим площади каждой из этих фигур и складываем их, что дает площадь данной трапеции. Вы можете увидеть это подробно в Примере 2 в разделе «Решенные примеры» на этой странице.

Какова площадь трапеции с координатами?

Если даны координаты вершин трапеции, то мы можем найти длины ее оснований ‘a’ и ‘b’, используя формулу расстояния. Чтобы найти высоту h (расстояние по перпендикуляру между основаниями), мы можем использовать перпендикулярное расстояние от точки до формулы линии (для этого нам нужно найти уравнение линии для одного из оснований).2}} \).

Затем мы можем применить формулу A = ½ (a + b) h, чтобы найти площадь трапеции.

Как найти площадь равнобедренной трапеции без высоты?

Если высота трапеции не указана, а вместо нее указаны все ее стороны, то мы разделим ее на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Мы находим площади каждой из этих фигур и складываем их, что дает площадь данной трапеции. Вы можете увидеть это подробно в Примере 2 в разделе «Решенные примеры» на этой странице.
Геометрия
— Как можно заполнить квадрат трапециями?
geometry — Как можно заполнить квадрат белыми трапециями? — Обмен стеками математики
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange

0

+0

Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 5 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 646 раз
$ \ begingroup $ Закрыто. Это вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.

Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме форума Mathematics Stack Exchange.

Закрыт 5 лет назад.

Добрый день, Мой вопрос в том, как заполнить квадратные трапеции, которые не имеют угла 90 градусов.Спасибо за помощь.

задан 19 мая ’16 в 22: 192016-05-19 22:19
$ \ endgroup $ 4 $ \ begingroup $
$ \ phantom {30charactersbuthiddenones} $

Создан 19 мая ’16 в 22: 322016-05-19 22:32
Джек Д’АурициоJack D’Aurizio
331 11 золотой знак
$ \ endgroup $ 4
Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками геометрия или задайте свой вопрос.
Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Геометрия
— Доказательство площади трапеции путем разделения ее на два треугольника?

Я пытаюсь понять, как выводится формула для площади трапеции с двумя параллельными сторонами.В моем учебнике сказано, что формула площади трапеции получается путем деления трапеции на два треугольника, один с основанием a и высотой h, а другой — с основанием b и высотой h.

$ A = {a \ times h \ over 2} + {b \ times h \ over 2} = {a \ times h + b \ times h \ over 2} = {h (a + b) \ over 2} $

Я нарисовал эту диаграмму в GeoGebra. Возможно, она не нарисована в масштабе (не соответствует) схеме в моем учебнике, но на самом деле она похожа. Я действительно отсканировал диаграмму из своего учебника, а затем нарисовал эту диаграмму поверх нее.В учебнике вершины не отмечали. Но я назвал вершины (синие), чтобы упростить объяснение, чтобы нам было на что ссылаться.

Вышеупомянутая формула — та, которая приводится в учебнике.

Судя по всему, имеет ли это хоть какой-то смысл? Они нарисовали эту диаграмму и назвали ее стороны как a, b, c и d. Они также нарисовали высоту h и диагональ DB.

Я не могу установить связь с формулой. И я видел фактическое доказательство площади такой трапеции на веб-сайте.Есть как минимум два разных доказательства площади трапеции. Возможно, наиболее распространенным доказательством является то, что вы разделите трапецию на два треугольника и прямоугольник. Но два треугольника ?? …

Итак, я прошу кого-нибудь предоставить мне доказательство того, что формулу для площади трапеции можно вывести, разделив трапецию на два треугольника, как показано на этой диаграмме.

Я знаю, что площадь треугольника равна основанию, умноженному на высоту, деленную на два, или 1/2 основания, умноженному на высоту.По сути, это половина площади прямоугольника. Итак, если я рассмотрю первую часть приведенной выше формулы, я получу следующее.

(Загрузка изображения в Imgur в данный момент не работает. Я вернусь к этому.)

Обновление:

$ [DBE] = {a \ times h \ over 2}
$
Я ограничил высоту пеленга. Площадь треугольника DBE составляет половину площади DFBE.

$ [BGA] = {b \ times h \ over 2} $

Я построил высоту AH.Площадь треугольника BHA составляет половину площади BEHA.

Но это дает мне перекрывающийся треугольник GBH. Он перекрывается треугольником DBE. Равна ли площадь GBH площади AGD?

А как насчет треугольников EBC и DFA?

Обновление:

Я думаю, что понял прямо сейчас. Итак, вот еще раз вторая диаграмма.

И еще раз третья диаграмма.

На этот раз они не того же размера. Я думаю, что неправильно масштабировал экспорт в PNG-изображение.Но здесь вы можете видеть, что я закрасил и измерил площади прямоугольников и треугольников, чтобы показать, как они взаимодействуют с площадью трапеции.

Я знаю, что это не совсем формальное доказательство площади трапеции. Но я думаю, что теперь это имеет для меня смысл. Меня смущало то, что у треугольника ABD не было ни высоты, ни высоты. Или это не было внутри самого треугольника, это было вне треугольника . А также мне было трудно увидеть, как эта перекрывающаяся часть GHB «трансформируется» (или как вы хотите это называть) в это другое пустое пространство.Но теперь я это вижу более ясно.

Значит, это действительно происходит из формулы площади треугольника? Или, может быть, мы можем сказать, что площадь треугольника используется как постулат для доказательства площади трапеции?

трапеций: определение и свойства — видео и стенограмма урока

Свойство

Трапеции имеют одно свойство, которое необходимо соблюдать. Свойство в том, что у него должна быть одна пара параллельных сторон. Если вы посмотрите на трапецию, вы увидите, что у нее две плоские стороны.Эти плоские стороны параллельны друг другу. Если вы продлите эти линии, они никогда не встретятся. Попытайся.

Словарь

При работе с трапециями есть несколько слов, которые мы должны добавить в наш словарь.

Первое слово — это оснований , которые являются сторонами, параллельными друг другу. Нарисуйте треугольник, нижняя сторона которого будет одной из ваших основ. Сторона, полученная путем срезания вершины треугольника, является другой основой.

Второе слово, которое следует рассмотреть, — это ножки . Это наклонные стороны, которые образуют левый и правый край трапеции, которая находится самой длинной стороной вниз. Возвращаясь к разрезанному треугольнику, ноги — это стороны, которые поднимаются и встречаются на вершине треугольника. Но поскольку вершина треугольника срезана, ноги заканчиваются там, где произошел срез.

Третье слово — высота , что просто высота трапеции. Это то, насколько высока трапеция, когда вы сидите на плоской поверхности.Вы можете определить высоту, измерив расстояние от одной базы до другой.

Специальные трапеции

Когда ноги вашей трапеции имеют одинаковую длину и когда углы, образуемые каждой стороной с основанием, равны, тогда у вас есть так называемая равнобедренная трапеция . Это означает, что, если трапеция расположена ровно с самым длинным основанием вниз, два нижних угла будут равны, а два верхних угла также будут равны. Представьте себе эту трапецию как равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами) с отрезанной вершиной.

Теперь представьте себе разносторонний треугольник (треугольник, все стороны которого имеют разную длину) и отрежьте его вершину. Когда вы это сделаете, вы получите разностороннюю трапецию , трапецию, ноги которой имеют разную длину.

Третий вид специальной трапеции — это правая трапеция , трапеция, в которой одна ножка перпендикулярна основанию. Он будет выглядеть как прямоугольный треугольник (треугольник с одним прямым углом) с обрезанной вершиной.

Краткое содержание урока

Вау! Посмотрите, что мы узнали всего за несколько минут! Мы узнали, что трапеция представляет собой четырехстороннюю плоскую форму с одной парой параллельных сторон.Трапеции выглядят как треугольники со срезанной вершиной. Единственное свойство, которому должны соответствовать все трапеции, — это то, что у них должны быть две стороны, параллельные друг другу.

Специальные слова, которые мы используем с трапециями, — это основания, ноги и высота. Основания относятся к двум сторонам, параллельным друг другу. Ножки , относятся к двум наклонным сторонам, а высота — это просто высота трапеции, когда она сидит ровно, ее самое длинное основание опущено.

Особый случай равнобедренной трапеции возникает, когда у вас есть ноги, равные по длине друг другу, и углы, образованные ногами и основаниями, также равны друг другу. Итак, у равнобедренной трапеции два нижних и два верхних угла равны друг другу. Частный случай разносторонней трапеции возникает, когда обе ноги имеют разную длину, а правая трапеция возникает, когда у вас одна нога перпендикулярна основанию.

Результаты обучения

Усвоение информации из этого урока может привести к вашей способности:

Распознавать свойство, связанное с трапециями

Определяет основания, опоры и высоту по отношению к трапециям

Характеризуйте особые трапеции: равнобедренную, разностороннюю и правую

Свойства фигур: четырехугольники, параллелограммы, трапеции, многоугольники — видео и стенограмма урока

Четырехугольники

Сначала: четырехугольник.Я знаю, это непросто. Но что вы видите в этом слове? Квадроцикл — . Где ты это видел? Четверные? Сколько это детей? Четыре! Или примерно на три больше, чем может выдержать нормальный человек. Четырехугольник — это просто четырехугольник.

Квадраты и прямоугольники — это четырехугольники. Так что есть более необычные формы, такие как бумеранг ниже:

Квадраты, прямоугольники и бумеранги — все это четырехугольники.

Что мы знаем о четырехугольниках? Если у них четыре стороны, у них также есть четыре вершины или угла.И хотя эти вершины могут быть под любым углом, их нужно добавить до 360 градусов. Почему? Подумайте о квадрате. Все углы 90 градусов.

90 умножить на 4 будет 360. А что насчет бумеранга?

Если этот первый угол равен 130 градусам, а два маленьких угла — 20 градусам, когда мы заставляем эти последние две линии пересекаться, угол должен быть 190 градусов. 130 + 20 + 20 + 190 = 360. Независимо от того, как вы меняете углы, они всегда составляют 360.

Периметр любого четырехугольника — это просто сумма четырех сторон.В четырехугольнике ниже стороны в дюймах равны 4, 4, 5 и 2.

Периметр этого четырехугольника составляет 15 дюймов.

Следовательно, периметр равен 4 + 4 + 5 + 2, или 15 дюймов.

Каждый квадрат четырехугольник? У них всегда ровно четыре стороны, так что да. Но каждый ли четырехугольник квадрат? Ну нет. Некоторые из них прямоугольные. И некоторые другие вещи, например параллелограммы.

Параллелограммы

Вы помните, что такое параллелизм? Две параллельные линии — это две линии, которые никогда не встретятся.Они похожи на линии, нарисованные на обочинах бесконечной прямой дороги.

Параллелограмм представляет собой четырехстороннюю форму с противоположными сторонами, которые параллельны. Из-за того, что линии параллельны, противоположные стороны равны по длине.

Углы внутри параллелограммов обладают некоторыми уникальными свойствами. Во-первых, равны противоположные углы. Кроме того, соседние углы являются дополнительными, то есть в сумме они составляют 180 градусов.

Периметр параллелограмма ниже со сторонами 4, 4, 5 и 5 равен 18.

Пример параллелограмма

Когда у нас есть четырехугольник определенного типа, как показано ниже, мы можем определить его площадь.

Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту.

Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту. Итак, в этом примере, где основание составляет 7 дюймов, а высота — эй, подождите, 4 — это не высота! Помните, что высота — это расстояние от основания до верха, поэтому, хотя эта сторона составляет 4 дюйма, высота на самом деле составляет 3 дюйма:

Площадь этого параллелограмма составляет 21 квадратный дюйм.

Итак, площадь равна 7 умноженным на 3, или 21 квадратный дюйм.

Это та же формула площади, что и для квадратов и прямоугольников. И, если вы помните, у квадратов и прямоугольников тоже есть наборы параллельных сторон, так что они оба параллелограммы!

Трапеции

Но что, если только одна группа сторон четырехугольника параллельна? Тогда это не может быть параллелограмм. Но это трапеция. Трапеция представляет собой четырехстороннюю форму, по крайней мере, с одним набором параллельных сторон.Может быть двух и быть параллелограммом. Но, если две стороны не параллельны, то это всего лишь скромная трапеция.

Это странное имя и может иметь странную форму. Знаете, о чем это мне напоминает? Стол. И угадай что? Отсюда и название! Как и у стола, две стороны, или столешница и основание, или пол, должны быть параллельны. В противном случае ваша бедная фрикаделька может скатиться со стола и сразу же вылететь за дверь.

Итак, у трапеции параллельные стороны называются основаниями.И, как и у стола, другие стороны называются ножками.

Периметр такой же, как у параллелограммов. Периметр этой трапеции?

Периметр этой трапеции составляет 24 дюйма.

Посмотрим. Основания 8 дюймов и 6 дюймов. Ноги по 5 дюймов каждая. 8 + 6 + 5 + 5 = 24 дюйма.

Площадь немного посложнее. Вы не можете просто умножить базис на высоту, потому что основания разные.Таким образом, площадь трапеции равна среднему значению оснований, умноженному на высоту. Или (a + b) / 2 * h.

Давайте найдем площадь этого:

Площадь этой трапеции составляет 28 квадратных дюймов.

Основания 8 дюймов и 6 дюймов. Какая высота? Каждая ножка по 5 дюймов. Помните, что высота — это расстояние от одной базы до другой. Высота этой трапеции — 4 дюйма. Давайте подставим эти числа в нашу формулу: 8 + 6 = 14.14/2 = 7. 7 * 4 = 28. Это 28 квадратных дюймов.

Полигоны

Мы говорили о четырехсторонних объектах, но какой термин также включает фигуры с разным количеством сторон?

Ух ты. Нет. Это полигамия или брак с несколькими людьми. Я имел в виду полигоны. Абсолютно другой. Но обратите внимание, что оба они начинаются с poly- . Префикс поли- происходит от греческого слова «многие». А -угольник означает углы. Итак, многоугольник — это замкнутая двумерная форма с множеством сторон и углов.Многоугольники полигамны в том смысле, что они представляют собой формы, соединяющие несколько сторон и углов.

Их больше нет. У них может быть три стороны или восемь, как восьмиугольник, или миллион, как мегагон. У них не обязательно должны быть параллельные линии или прямые углы. Если задуматься, это означает, что треугольник — это многоугольник. Таковы квадраты, прямоугольники и, да, четырехугольники, параллелограммы и трапеции. Все они представляют собой замкнутые формы с множеством сторон, так что все они многоугольники!

Периметр многоугольника — это просто сумма сторон.Это 3 для верхней фигуры внизу, 5 для левой и 8 для фигуры справа.

Примеры полигонов

Поскольку многоугольники могут быть ужасно сложными, определение их площадей — более сложная математика, чем мы собираемся здесь углубляться. Но независимо от того, насколько велик или мал этот знак остановки, вам все равно нужно подчиняться ему!

Резюме урока

Итак, четырехугольник — это любая четырехсторонняя форма.

Параллелограмм представляет собой четырехстороннюю форму с противоположными сторонами, которые параллельны и равны по длине. Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту.

Трапеция — это четырехсторонняя форма, по крайней мере, с одним набором параллельных сторон. Площадь трапеции — это среднее основание, умноженное на высоту.

Наконец, многоугольник — это замкнутая двумерная фигура с множеством сторон. Все, от треугольника до восьмиугольника и мегагона, является разновидностью многоугольника.

Для всех этих фигур периметр — это сумма сторон.

Результаты обучения

В конце этого урока вы сможете:

Описывать формы четырехугольников, параллелограммов, трапеций и многоугольников

Определите, как найти периметр всех четырех фигур

Объясните, как найти площадь четырехугольника, параллелограмма и трапеции

Трапеция

(Перейти к области трапеции или периметру трапеции)

Трапеция — это четырехсторонняя плоская форма с прямыми сторонами, имеющая пару противоположных сторон, параллельных (отмечены стрелками ниже):

Трапеция Равнобедренная трапеция

Трапеция:

имеет пару параллельных сторон

— это равнобедренная трапеция , когда она имеет равных угла от параллельной стороны

называется « трапеция » в Великобритании (см. Ниже)

Игра с трапецией:

Параллельные стороны — это «основания»

Две другие стороны — «ножки»

Расстояние (под прямым углом) от одной базы до другой называется «высотой»

Площадь трапеции

Площадь — это среднее значение двух базовых длин, в раз превышающее высоту :

Площадь = a + b 2 × h

Пример: два основания трапеции — 6 м и 4 м, а высота — 3 м.Какова его площадь?

Площадь = 6 м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м ²

Инструмент «Площадь многоугольника путем рисования» полезен, когда вы можете нарисовать трапецию.

Периметр трапеции

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр равен сумме длин всех сторон :

Периметр = a + b + c + d

Пример: Трапеция имеет длину стороны 5 см, 12 см, 4 см и 15 см. Каков ее периметр?

Периметр = 5 см + 12 см + 4 см + 15 см = 36 см

Медиана трапеции

Медиана (также называемая средней линией или срединным сегментом) — это линейный сегмент на полпути между двумя основаниями.

Средняя длина — это среднее значение двух базовых длин:

м = а + б 2

Вы можете вычислить площадь, зная медианное значение, это просто медиана, умноженная на высоту:

Площадь = mh

Трапеция

Трапеция (UK: trapezoid) — четырехугольник без параллельных сторон.

Определения США и Великобритании поменялись местами, например:

Трапеция Трапеция

США: Пара параллельных сторон НЕТ параллельных сторон

Великобритания: НЕТ параллельных сторон Пара параллельных сторон

.

Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *

Email *

Сайт

Навигация по записям

Previous post: Почему в машине пахнет тухлыми яйцами: Причины появления внутри автомобиля запаха тухлых яиц
Next post: Где остановиться в казани недорого на машине: Топ 5: дешевые отели Казани 2021 года


Трапеция		Равнобедренная трапеция

	имеет пару параллельных сторон
	— это равнобедренная трапеция , когда она имеет равных угла от параллельной стороны
	называется « трапеция » в Великобритании (см. Ниже)

	Трапеция	Трапеция
США:	Пара параллельных сторон	НЕТ параллельных сторон
Великобритания:	НЕТ параллельных сторон	Пара параллельных сторон

Запасные части и аксессуары для автомобилей ФОРД

Вписать трапецию в трапецию: Трапеция вписана в окружность

Трапеция вписана в окружность

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Элективный курс «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов»

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Основные свойства трапеции

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 2

Трапеция — это… Что такое Трапеция?

Связанные определения

Элементы трапеции

Виды трапеций

Общие свойства

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Вписанная и описанная окружность

Площадь

См. также

Примечания

2. Свойства равнобедренной трапации

Определение формул площади — элементарная математика

Формулы площади

Площадь прямоугольников

Площадь параллелограммов

Идея

Укрепление отверстий

Интуиция и доказательство

Что, если мы выберем короткую сторону в качестве основы?

Почему так важно быть осторожным?

Площадь треугольника

Рассекая треугольник

Удвоение треугольника и уменьшение полученной площади вдвое

Площадь трапеции

Удвоение трапеции и уменьшение полученной площади вдвое

Рассечение трапеции

Площадь других специальных четырехугольников

Площадь ромба

Площадь кайта

Площадь трапеции — формула, примеры, определение, вывод

Часто задаваемые вопросы по Area of ​​Trapezoid

Что такое площадь трапеции в математике?

Как найти площадь трапеции?

Почему площадь трапеции ½ (a + b) h?

Как найти недостающую основу трапеции, если вы знаете местность?

Как определить высоту трапеции по площади и основанию?

Какова площадь равнобедренной трапеции со сторонами?

Какова площадь трапеции с координатами?

Как найти площадь равнобедренной трапеции без высоты?

— Как можно заполнить квадрат трапециями?

Сеть обмена стеков

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками геометрия или задайте свой вопрос.

— Доказательство площади трапеции путем разделения ее на два треугольника?

трапеций: определение и свойства — видео и стенограмма урока

Свойство

Словарь

Специальные трапеции

Краткое содержание урока

Результаты обучения

Свойства фигур: четырехугольники, параллелограммы, трапеции, многоугольники — видео и стенограмма урока

Четырехугольники

Параллелограммы

Трапеции

Полигоны

Часто задаваемые вопросы по Area of Trapezoid